Una mujer en mi Club Rotario local ha ganado nuestros dibujo semanal 6 fuera de 7 semanas y queria saber las probabilidades reales de que esto ocurra.
En promedio se compran 10 boletos que sé hace su diario % de probabilidades $1/10$. ¿Cómo encontrar las probabilidades de ganar 6 fuera de 7?
Yo sugiero que el más significativo de la probabilidad es su posibilidad de ganar al menos 6 de los 7 dibujos, no exactamente 6. Bajo la hipótesis nula de que la oportunidad de ganar cualquiera de dibujo en particular es$\theta = 0.10$, $p$- valor del resultado observado es $$\Pr[X \ge 6 \mid H_0] = \binom{7}{6}\theta^6 (1-\theta) + \binom{7}{7}\theta^7 = \frac{1}{156250} \approx 6.4 \times 10^{-6}.$$ Todavía muy pequeña, por supuesto.
Sin embargo, el cálculo anterior se presume que exactamente $10$ entradas fueron elegibles para cada dibujo, pero si esto es sólo un promedio, entonces no hay suficiente información para calcular un $p$-valor. Si en algunas semanas, el número de boletos fue muy pequeño (por ejemplo, sólo $2$ personas entraron en una semana, sino $18$ personas que han entrado en otro), entonces el $p$-valor podría ser tan grande como $\approx 0.000198611$. En el caso más extremo, supongamos por $6$ de la $7$ dibujos, sólo $2$ personas participaron, y en el resto del dibujo, $58$ participó, haciendo que el promedio todavía $10$. La probabilidad de ganar, al menos $6$ de los dibujos bajo el supuesto de que los dibujos son justos, es $$\left(\tfrac{1}{2}\right)^6 \left(\tfrac{57}{58}\right) + 6\left(\tfrac{1}{2}\right)^5 \left(1 - \tfrac{1}{2}\right) \left(\tfrac{1}{58}\right) + \left(\tfrac{1}{2}\right)^6 \left(\tfrac{1}{58}\right) = \frac{5741}{338256} \approx 0.0169724,$$ or only about $1.7\%$. Esto representa una absoluta límite superior en la probabilidad de observar un resultado. (He hecho la suposición de que no hay ningún punto para la realización de un dibujo si sólo hay un participante.) Que todavía es muy poco probable, que sugieren algún tipo de colusión teniendo lugar.
La mayoría de los cálculos se supone que ella era una persona de interés ANTES de que alguno de los sorteos, y había una razón para estar interesado en los 7 empates. La pregunta no dice que ella fue de especial interés antes, por lo que los cálculos están equivocados.
Para dar un ejemplo: si hay 10 entradas vendidas cada semana, y una persona gana 2 semanas en una fila, la probabilidad es de 1/100 para esa persona especial. Sin embargo, la probabilidad de que suceda a cualquier persona en cualquier semana dada es sólo 1/10. Si se trata de un sorteo semanal sucediendo desde hace 2 años, sería probable que esto haya ocurrido 10 veces en los últimos 2 años, y 3 en una fila que debería ocurrir una vez.
Así que para encontrar la probabilidad de que su ejemplo ocurre al azar, es necesario multiplicar la probabilidad de que un ejemplo particular, pasando por el número de maneras en que puede ocurrir. Cada jugador es una oportunidad extra, y cada una de las históricas dibujar es una oportunidad extra. Es necesario multiplicar el valor calculado de probabilidades por el número de personas que juegan regularmente (por lo que los tiempos de 10), pero de manera más significativa por el número de sorteos que han existido históricamente. Han sido 100 dibuja, dibuja 1000?
Con 10 jugadores y 100 atrae, es necesario multiplicar la probabilidad calculada para ella en este momento por 1000. Esto hace que la probabilidad de que esto ocurra aún raro, pero raro no lo suficiente como para ser la base de las acusaciones de colusión.
Si luego multiplicarlo por el número de similares sorteos que suceden en los lugares de trabajo y de los clubes en la ciudad, es obligado a pasar a alguien tarde o temprano.
Otro método es decir que cuando ella gana 3 en una fila (que debería ocurrir una vez cada 100 sorteos), ella se convierte en una persona de interés, y se puede calcular más probabilidades después de ese punto. Si su rendimiento a partir de este punto sigue siendo altamente improbable (p<1%), tal vez algo está sucediendo.
Como otra respuesta se señaló, si hay varias entradas compradas por una sola persona, las probabilidades también puede cambiar rápidamente, así que asegúrese de tomar en cuenta todos los factores.
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