¿Cómo se realiza una integral que involucra la derivada de una función delta?

Question

Obtuve una integral al resolver la ecuación de Schrödinger con potencial de función delta. Se ve así

$$\int \frac{y(x)}{x} \frac{\mathrm{d}\delta(x-x_0)}{\mathrm{d}x}$$

Estoy tratando de resolver esto dividiéndolo en dos integrales

$$\int_{-\infty}^{x_0 - \epsilon} \frac{y(x)}{x} \frac{\mathrm{d}\delta(x-x_0)}{\mathrm{d}x} + \int_{x_0 + \epsilon}^{\infty} \frac{y(x)}{x} \frac{\mathrm{d}\delta(x-x_0)}{\mathrm{d}x}$$

y luego hacer el límite $\epsilon\to 0$. ¿Podrías decirme cómo resolver esta integral por favor? Usé Mathematica, dio un resultado extraño.

Answer 1

La función $\delta$ no es continua, por lo que a priori no es diferenciable. De hecho, ni siquiera está bien definida como una función real ordinaria, pero se puede hacer en términos de distribuciones - mapas lineales en un espacio de funciones de prueba dados por $f\mapsto\int\delta f=f(a)$.

Es posible definir de manera sensata derivadas de distribuciones al observar representaciones como límites de funciones:

Si $\delta_i$ es una familia de funciones tal que $\lim_{i\rightarrow\infty}\int\delta_i(x) f(x)\mathrm dx=f(a)$ para cualquier función de prueba $f$, entonces se puede considerar una representación del delta de Dirac. Ahora, si tomamos la familia de derivadas $\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\delta_i$ llegamos a $$ \int\left[\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\delta_i(x)\right]f(x)\mathrm dx=-\int\delta_i(x)\left[\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}f(x)\right]\mathrm dx $$ a través de la integración por partes y utilizando el hecho de que $f$ tiene soporte compacto por definición (lo que hace que el término de borde se anule).

Dado que la derivada también es lineal, esto define otro mapa lineal $f\mapsto-\int\delta f'$ en el espacio de funciones de prueba, al cual llamamos la derivada de nuestra distribución.

Simbólicamente, $$ \left[\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\delta(x-a)\right]f(x)=-\delta(x-a)f'(x) $$ lo cual puede simplemente insertarse en tu fórmula anterior sin necesidad de cálculos reales, ya que es verdadero por definición.

Answer 2

La función delta de Dirac a menudo se define como la siguiente distribución:

$$\int_a^b \delta(x - x_0) F(x)\mathrm{d}x = \begin{cases}F(x_0), & a < x_0 < b \\ 0, & \text{otherwise}\end{cases}$$

donde $F$ es una función de prueba adecuada. Su derivada se define entonces como

$$\int_a^b \delta'(x - x_0) F(x)\mathrm{d}x = -\int_a^b \delta(x - x_0) F'(x)\mathrm{d}x$$

lo cual es también el resultado que se obtendría aplicando ingenuamente la integración por partes. Puedes usar este resultado directamente para calcular tu integral estableciendo $F(x) = \frac{y(x)}{x}$ - no es necesario dividir la integral ni tomar límites.

Answer 3

Por lo tanto, las propiedades de la derivada de la función delta se pueden mostrar relativamente rápido a través del siguiente ansatz: Considere una función $\delta(x)$ tal que $\delta(x) = \frac{1}{a^{2}}(x+a)$ si $-a

Ahora, consideremos la derivada de nuestra supuesta función delta. Será $\frac{1}{a^{2}}$ para $-a

$\begin{align} \int \delta^{\prime}(x)f(x)dx &= \int_{-a}^{0}\frac{f(x)}{a^{2}}dx - \int_{0}^{a}\frac{f(x)}{a^{2}}dx\\ &=\int_{0}^{a}\frac{f(-x)}{a^{2}}dx-\int_{0}^{a}\frac{f(x)}{a^{2}}dx\\ \end{align}$

Extrayendo el $a^{2}$ fuera de la integral y tomando el límite $a\rightarrow0$, encontramos, después de aplicar la regla de L'Hopital una vez, y luego usando la definición de la derivada:

$\int \delta^{\prime}(x)f(x) = -f'(0)$

Answer 4

Como se mencionó anteriormente, si $x_0$ es un punto regular de la integrando se calcula el valor de la integral deseada simplemente sustituyendo este punto en la derivada con la elección apropiada de signo. La parte interesante es cuando las singularidades de la integrando y la derivada delta coinciden, es decir, donde $x_0=0$. Para calcular la integral en este caso utilizamos el hecho de que $$\delta_0'=\lim_{\epsilon \to 0^+}\frac{\delta_\epsilon-\delta_{-\epsilon}}{2 \epsilon},$$ el límite se toma en sentido distribucional. Un cálculo rápido sugiere que esto solo está definido si $y(0)=0$ y que la integral es entonces $\dfrac{y''(0)}2$. (Nota que dado que la integrando no es una función suave, la integral no está definida a priori).