Evaluar

Question

Siguiendo con la pregunta anterior

La evaluación de $\int \arccos\left(\frac{\cos(x)}{r}\right) \, \mathrm{d}x$

Ahora necesito el extra $\sin^2x$ como en el título. Por supuesto, el poder de $\sin(x)$ es fácil, pero no está claro que los dos se puede hacer uso de los componentes, o los métodos de

Integral indefinida $\int \arcsin \left(k\sin x\right) dx$

Alguna sugerencia?

Answer 1

Gracias a la citada respuesta, basta para calcular\begin{align}I&=\int \arccos \left(k\cos x\right)2\cos 2x \,dx=\\&=\sin 2x \arccos \left(k\cos x\right) -\int\frac{k\sin 2x\,\sin x\,dx}{\sqrt{1-k^2\cos^2 x}}=\\ &=\sin 2x \arccos \left(k\cos x\right)-2k\int\frac{\sin^2x\,d(\sin x)}{\sqrt{1-k^2\cos^2 x}}, \end align {} donde la transición de la 1ª a la 2ª línea se obtiene por integración por partes. El % restante integral $\int\frac{s^2ds}{\sqrt{1-k^2+k^2s^2}}$es claramente expresable en términos de funciones elementales, y el resultado final se puede simplificar a $$ me = \sin 2 x \arccos \left(k\cos x\right) + \frac {1-k ^ 2} {k ^ 2} \ln\left (\sqrt{1-k^2\cos^2x}+k\sin x\right)-\frac {\sin x\,\sqrt{1-k^2\cos^2x}}{k}.$$