Demuestra que los elementos de la suma de triángulos tienen números pares de divisores.

Question

Considere la suma $$S = \sum_{k=1}^n k$$

Mientras calculaba el primer número triangular con más de 500 divisores (Proyecto Euler), me encontré con la hipótesis de que la mayoría de los números triangulares tienen un número par de divisores (si $n=8$ entonces $S = 36$ tiene $9$ divisores).

Ejemplo:

The number 3 has 2 divisors for triangle number 2
The number 6 has 4 divisors for triangle number 3
The number 10 has 4 divisors for triangle number 4
The number 15 has 4 divisors for triangle number 5
The number 21 has 4 divisors for triangle number 6
The number 28 has 6 divisors for triangle number 7
The number 36 has 9 divisors for triangle number 8 <--- only exception
The number 45 has 6 divisors for triangle number 9
The number 55 has 4 divisors for triangle number 10
The number 66 has 8 divisors for triangle number 11
The number 78 has 8 divisors for triangle number 12
The number 91 has 4 divisors for triangle number 13
The number 105 has 8 divisors for triangle number 14
The number 120 has 16 divisors for triangle number 15
The number 136 has 8 divisors for triangle number 16
The number 153 has 6 divisors for triangle number 17
The number 171 has 6 divisors for triangle number 18
The number 190 has 8 divisors for triangle number 19
The number 210 has 16 divisors for triangle number 20
The number 231 has 8 divisors for triangle number 21
The number 253 has 4 divisors for triangle number 22
The number 276 has 12 divisors for triangle number 23
The number 300 has 18 divisors for triangle number 24
The number 325 has 6 divisors for triangle number 25
The number 351 has 8 divisors for triangle number 26
The number 378 has 16 divisors for triangle number 27
The number 406 has 8 divisors for triangle number 28
The number 435 has 8 divisors for triangle number 29
The number 465 has 8 divisors for triangle number 30
The number 496 has 10 divisors for triangle number 31
The number 528 has 20 divisors for triangle number 32
The number 561 has 8 divisors for triangle number 33
The number 595 has 8 divisors for triangle number 34
The number 630 has 24 divisors for triangle number 35
The number 666 has 12 divisors for triangle number 36
The number 703 has 4 divisors for triangle number 37
The number 741 has 8 divisors for triangle number 38
The number 780 has 24 divisors for triangle number 39
The number 820 has 12 divisors for triangle number 40
The number 861 has 8 divisors for triangle number 41
The number 903 has 8 divisors for triangle number 42
The number 946 has 8 divisors for triangle number 43
The number 990 has 24 divisors for triangle number 44
The number 1035 has 12 divisors for triangle number 45

Qué números de triángulo $S_n$ tendrá un número impar de divisores?

Answer 1

Esta es una forma de lograr un progreso sustancial.

Los divisores vienen en pares, excepto cuando un número es cuadrado, por lo que se buscan números triangulares que también sean cuadrados, es decir $$\frac {n(n+1)}2=m^2$$

A continuación, multiplique ambos lados por $8$ y añadir $1$ para obtener $$4n^2+4n+1=8m^2+1$$

Si a continuación se pone $p=2n+1, q=2m$ esto da $$p^2-2q^2=1$$ donde $p$ es impar y $q$ está en paz.

Se trata de una ecuación bien conocida (la de Pell) y cualquier solución (hay infinitas) puede retrotraerse a una solución del problema original.

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Para ampliar los comentarios de los demás, si empezamos por $(p,q)$ entonces $(3p+4q,2p+3q)$ es otra solución, y tenemos $(p,q)=(3,2)$ para empezar - o podríamos empezar con $(1,0)$ .

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De nuevo si $(p,q)$ es una solución también lo es $(3p-4q, 3q-2p)$ y se puede utilizar esto para demostrar que sólo hay una secuencia de soluciones que comienza con $(1,0)$

Todo esto está relacionado con el hecho de que $p^2-2q^2=(p+q\sqrt 2)(p-q\sqrt 2)$ por lo que el $\sqrt 2$ términos vienen en los comentarios.

Answer 2

En primer lugar, hay que tener en cuenta que para cualquier número entero positivo $S$ sus factores vienen en pares $(n, \frac{S}{n})$ ; si $n$ y $\frac{S}{n}$ son iguales, entonces $S = n^2$ Es decir, $S$ es un número cuadrado y $n$ es su raíz cuadrada. Por lo tanto, un número entero positivo tiene un número impar de factores si es cuadrado, y por lo tanto podemos replantear la pregunta como una sobre los números que son a la vez triangular y cuadrado, y hay infinitamente muchos de estos---

$$0, 1, 36, 1225, 41616, 1413721, 48024900, 1631432881, \ldots$$

---(esto es OEIS A001108 ) como se puede demostrar traduciendo el problema en uno sobre el ecuación clásica de Pell , lo que ahora veo que ha hecho Mark en su excelente solución.