Mapa exponencial truncado de $\mathfrak{gl}_n$ a $GL_n$

Question

Dejemos que $k$ sea un campo de característica $p>0$ . Si $A$ es una matriz nilpotente en $\mathfrak{gl}_n(k)$ con $p>n$ entonces podemos definir la matriz unipotente:

$$\exp(A)=\sum_{i=0}^{p-1}\frac{A^i}{i!}$$

Si $f_p(x,y)=\frac{1}{p}((x+y)^p-x^p-y^p)\in k[x,y]$ y si $AB=BA$ tenemos la fórmula

$$\exp(A)\exp(B)=\exp(A+B-f_p(A,B))\tag{$ * $}$$

Obsérvese la expansión de $f_p$ está bien definida en $k[x,y]$ . Me gustaría poder demostrar lo siguiente:

Si $A_1,\ldots,A_k$ son matrices nilpotentes linealmente independientes y conmutables entre sí, entonces $\prod_{i=1}^k\exp(A_i)^{m_i}=I_n$ si y sólo si $m_i=0$ para $i=1,2,\ldots,k$ .

Un paso que he dado es ver que $f_p(x,x)=0$ implica que $\exp(A)^m=\exp(mA)$ . Al tratar de seguir adelante, el $f_p(x,y)$ los términos se complican.

Answer 1

Sí, esto es cierto, suponiendo que por $m_i=0$ quieres decir $m_i \equiv 0 \mod p$ .

Si el $A_i$ conmutan, entonces $\prod \exp(A_i)^{m_i} = \exp \left( \sum m_i A_i \right)$ . Desde el $A_i$ son conmutables y nilpotentes, la suma $\sum m_i A_i$ es nilpotente. El mapa exponencial es inyectivo en matrices nilpotentes (con inversa $\log$ ) por lo que $\exp \left( m_i A_i \right)=I_n$ implica que $\sum m_i A_i=0$ . Desde el $A_i$ son linealmente independientes, esto significa que todas las $m_i$ son $0$ .

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En lo anterior, estoy utilizando el siguiente lema: Si $p > n$ y $A$ y $B$ se desplazan al trabajo $n \times n$ matrices nilpotentes, entonces $\exp(A+B) = \exp(A) \exp(B)$ . La clave de esto es recordar que, si $A$ y $B$ son matrices nilpotentes conmutables, entonces podemos elegir una base en la que ambas sean estrictamente triangulares superiores. De este modo, si $A$ y $B$ son matrices nilpotentes conmutables, entonces $A^i B^j=0$ para cualquier $(i,j)$ con $i+j \geq n$ . Así, $$\exp(A+B) = \sum_{m < n} \frac{(A+B)^m}{m!} = \sum_{i+j < n} \frac{A^i B^j}{i! j!} = \sum_{i < n} \sum_{j < n} \frac{A^i}{i!} \frac{B^j}{j!} = \exp(A) \exp(B).$$

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Vale la pena señalar que esto no es cierto si sólo se asume que $A_i^p=0$ y no $p>n$ . Por ejemplo, tome $p=2$ y $$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \quad B = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \quad C = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.$$

Si no he cometido ningún error, entonces $A^2=B^2=C^2=0$ , $A$ , $B$ y $C$ ir al trabajo y $A$ , $B$ y $C$ son linealmente independientes, pero $\exp(A) \exp(B) \exp(C) = (1+A)(1+B)(1+C) = 1$ . Puedo explicar cómo he encontrado esto si hay necesidad.