Compruebe la matriz identidad $A^tD-C^tB=I$ en ciertas hipótesis

Question

Dado $n\times n$ real de las matrices $A,B,C,D$, tal que:

• $AB^T$ y $CD^T$ son simétricas

• $AD^T-BC^T=I$

Demostrar que $A^TD-C^TB=I$

La solución que he llegado después de un muy largo período de tiempo es a tener en cuenta:

$$\left( \begin{array}{cc} A & B \\ -C & D \end{array} \right)\left( \begin{array}{cc} D^T & B^T \\ C^T & a^T \end{array} \right)=\left( \begin{array}{cc} I & 0 \\ 0 & I \end{array} \right)\rightarrow\left( \begin{array}{cc} D^T & B^T \\ C^T & a^T \end{array} \right)\left( \begin{array}{cc} A & B \\ -C & D \end{array} \right)=\left( \begin{array}{cc} I & 0 \\ 0 & I \end{array} \right)$$ entonces $D^TA-B^TC=I$.

Sin embargo esta solución es aparentemente difícil. Me encantaría tener una solución natural (que puede ser aplicado a otros problemas)

Answer 1

Me he enterado de que esta $2n\times 2n$ matriz, de hecho, tiene un nombre: simpléctica de la matriz.

http://en.wikipedia.org/wiki/Symplectic_matrix

Parece que esta propiedad es una propiedad especial de un amplio tipo de matriz.