Cómo garantizar la corrección topológica

Question

Pregunta:

He leído una enorme cantidad de material sobre topología y teoría de nudos en la wikipedia, pero sigo atascado en el siguiente problema fundamental:

Dadas dos representaciones de curvas cerradas, ¿cómo se establece su "vinculación"?

Así, en un ejemplo realmente sencillo, dadas las ecuaciones de dos círculos en $\mathbf{R}^3$ ¿cómo puedo saber si son un Enlace Hopf o bucles disjuntos?

Antecedentes:

Un conspirador y yo hemos escrito un simulador de cuerda que minimiza las energías almacenadas mediante un enfoque iterativo. Funciona muy bien para una miríada de casos de prueba, como un segmento colgante, centenario, y lo hemos utilizado para reproducir la forma de un unit-knit .

El problema viene cuando intentamos añadir las interacciones cuerda-cuerda. En pocas palabras, hay que llegar a extremos para garantizar que las cuerdas no se atraviesen entre sí mediante el proceso de minimización. Creo que esta no es la manera de hacer las cosas, así que estoy en la búsqueda de una respuesta con más principios.

Answer 1

Elige un plano genérico en el espacio 3 y proyecta tu enlace en él. A continuación, utilice la idea de http://en.wikipedia.org/wiki/Linking_number#Computing_the_linking_number .

Para que sea computacionalmente factible, es posible que tenga que aproximar su enlace mediante una curva poligonal suficientemente cercana.

(Esto responde a lo que creo que es tu pregunta principal: "Dadas las ecuaciones de dos círculos en R3, ¿cómo puedo saber si son un enlace de Hopf o bucles disjuntos?").

EDIT: Como señala Kevin Carlson en los comentarios, si los enlaces se pueden desentrañar, el número de enlace será cero. Si el número de enlace es cero, los enlaces pueden desenredarse si se permite que cada componente pase a través de sí mismo (pero no del otro enlace), pero posiblemente no si esto no se permite (ver http://en.wikipedia.org/wiki/Whitehead_link para un ejemplo).