$\varphi(N)>\pi(N)$?

Question

Es trivial que se $\varphi(N)>\pi(N)$ para suficientemente grande enteros $N$ donde $\varphi$ es de Euler totient función y $\pi$ es la principal función de recuento?

Las únicas excepciones a menos de $1.000.000$$1,2,3,4,6,8,10,12,14,18,20,24,30,42,60,90$.

¿Por qué debería el número de a $N$ relativo de los números primos menos de $N$ ser mayor que el número de números primos menos de $N$?

Por favor alguien puede sugerencia sobre esto?

Answer 1

Desde: $$\phi(N)=N\prod_{p\mid N}\left(1-\frac{1}{p}\right) $$ tenemos: $$ \frac{N}{\phi(N)}=\exp\left(\sum_{p\mid N}-\log\left(1-\frac{1}{p}\right)\right)\leq K\exp\sum_{p\mid N}\frac{1}{p}$$ mientras $$\pi(N)\leq \log 4\cdot\frac{N}{\log N}$$ por lo tanto sólo tenemos que mostrar que para cualquier $N$ bastante grande: $$\exp\sum_{p\mid N}\frac{1}{p}\leq\frac{\log 4}{K}\log N$$ o: $$ \sum_{p\mid N}\frac{1}{p}\leq C +\log\log N $$ que es trivial desde el lado izquierdo se comporta como $\log\log\log N$.

Answer 2

Sugerencia:-

El uso de $\varphi(n) >\dfrac{n}{e^\gamma \ln (\ln n)+\dfrac{3}{\ln (\ln n)}}$ $\dfrac{n}{\ln n -(1+\epsilon)}>\pi(n)$ para todos lo suficientemente grande $n$, y para todos los $\epsilon>0$.