Cómo resolver ecuaciones como $8^{2n+1} = 32^{n+1}$

Question

He tropezado con esta pregunta, y hay un par de preguntas después del mismo tipo. ¿Cómo puedo solucionarlo y lo que es el enfoque correcto para este tipo de pregunta?

$$8^{2n+1} = 32^{n+1}$$

Necesito encontrar el valor de $^n$. Paso a paso si es posible por favor. Mi acercamiento fue el inicio como:

$$(2^3)^{2n+1} = (2^3 \times 2^2)^{n+1}$$

Entonces yo estaba perdido en cuanto a cómo proceder. ¿Necesito algún tipo de conocimientos previos que me faltan antes de intentar esto? El libro sólo ha mostrado $7$ leyes de los índices antes de hacer esta pregunta.

Answer 1

La idea de la reducción de todo a los poderes de $2$ es bueno, pero no llevarlo a cabo correctamente en el lateral derecho: usted debe tener

$$\left(2^3\right)^{2n+1}=\left(2^5\right)^{n+1}\;.\tag{1}$$

Ahora uso el hecho de que $\left(a^b\right)^c=a^{bc}$ a reescribir $(1)$

$$2^{3(2n+1)}=2^{5(n+1)}\;,$$ or $$2^{6n+3}=2^{5n+5}\;.$$

Este es el caso si y sólo si $6n+3=5n+5$, por lo que todo lo que queda es resolver esa simple ecuación lineal para $n$.

Answer 2

Las otras soluciones a este problema presuponen dos factores:

1) las dos bases son en sí mismos, tanto de los poderes de algunos de base común;

2) el solucionador reconoce ese hecho.

Pero supongamos que las bases 8 y 32 en el problema anterior fueron reemplazados con 2197 y 371293. O peor aún, con 2197 y 317293.

Una más "a prueba de balas" técnica sería conseguir el desconocido fuera de los exponentes tomando logaritmos de ambos lados. La ecuación para ser resuelto se convierte en: $$(2n+1)\log(8)=(n+1)\log (32)$$ When you divide log32 by log8 and get $\frac{5}{3}$, es claro que se ha perdido algún punto sutil. pero ya está bien en su camino a la solución, y la próxima vez que los números pueden no trabajar tan claramente...

Answer 3

Denotar $x=2^n$ y encontrar $x$ fuera de la ecuación..