Cuando una función periódica se eleva al cuadrado (o en cubitos, y así sucesivamente...) siempre se pierde su periodicidad?

Question

Por ejemplo, $$\sin^{2}\left(-\frac{\pi}{6}\right) = \sin^{2}\left(\frac{\pi}{6}\right)$$

es decir, $\sin^2 (x)$ es una función par y pierde la $2\pi$-periodicidad de las $\sin x $.

Esto es cierto en general?

Qué $\tan^2 x$ perder el $\pi$-periodicidad de las $\tan x$? El $\tan^2 x$ función todavía sopla donde $\cos^2 x$ es igual a cero - actualmente estoy estudiando $\tan^2 x$'s singularidades para intentar comprender una solución a un problema que he estado trabajando.

Answer 1

Si $f : \mathbb R \to \mathbb R$ es periódica con período de $T$, es decir, $f(t + T) = f(t)$ todos los $t$, entonces, ciertamente, $f^n$ también es periódica de período de $T$ $$f^n(t) = (f(x))^n = (f(t + T))^n = f^n(t+T)$$

Sin embargo $f^n$ también puede recoger otros períodos más cortos, como el ejemplo de $f = \sin$ muestra: $\sin$ periodo $2\pi$ no $\sin^2$; pero $\sin^2$ también tiene período de $\pi$. El plazo mínimo de $\sin^2$ $\pi$ es por lo tanto menos que el período mínimo de $2\pi$$\sin$.

$\tan$ periodo $\pi$ no $\tan^2$. Lo $\tan^2$ sí no tienen un mínimo período menor al plazo mínimo de $\tan$.

Answer 2

Es cierto que $$ \sin^2(x+2\pi)=\sin^2x $$ así que, sin duda $\sin^2$ es periódica con período de $2\pi$. Tiene una diferente mínimo período, ya que, como se observa, $\sin(-x)=-\sin x$, por lo que también $$ \sin^2(x+\pi)=\sin^2 x $$

Answer 3

¿Qué piensa usted de la función periódica tener $1$ para el período y definido por $f(x)= 0$ $ x \in [0,1/2)$ y $f(x)=1$$ x \in [1/2,1)$?

Answer 4

¿Y la de Dirichlet de la función? $$\mathbf 1_\Bbb P: \Bbb R\ni x \mapsto \begin{cases} 1 & \mbox{for } x \in \mathbb Q, \\ 0, & \mbox{for } x \notin \mathbb Q. \end{casos}$$ Es periódica con cada número racional siendo su período, y se retiene todos los períodos en los que crió a un poder natural $$\forall_{n\in\Bbb N^+} (\mathbf 1_\Bbb Q(x))^n = \mathbf 1_\Bbb Q(x)$$

Mismo se aplica a cualquier función periódica $\Bbb R\to \{0, 1\}$.

Answer 5

Deje $f$ ser una función periódica de (mínimo) $T$ y deje $g(x)=\left(f(x)\right)^2$.

$\textbf{Proposition:}$ $g$ (mínimo) período de $\frac{T}{2}$ fib $f(x+\frac{T}{2})=\pm f(x)$

$\textbf{Proof:}$ A la izquierda para el lector.