¿Existe una función de $F(x)$, por lo que el $F'(x) $ no es Riemann integrable?

Question

¿Existe una función de $F(x)$ tal que satisface la siguiente propiedad?

Deje $I=[a,b]$ $F:I\rightarrow\mathbb{R}$ ser una función. $F$ es estrictamente monótona y diferenciable en a $I$, pero el derivado $F'(x)$ no es Riemann integrable.

Answer 1

He aquí otra construcción. Deje $g : [0,1] \to \mathbb R$ satisface las siguientes propiedades: $g$ es continua en a $(0,1]$,

$$g(0) = 0,\ g(2^{-n}) = 2^n,\ \ g \left( \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2^n} + \frac{1}{2^{n+1}}\right)\right) = 0 \ \ \forall n\in \mathbb N, \ \ g(x) >0 \text{ elsewhere,}$$ y

$$\int_{2^{-n-1}}^{2^{-n}} \ \ \ g(s) ds\le 2^{-2n-1}$$

para todos los $n\in \mathbb N$. (Este podría ser un poco difícil de escribir, pero tal función, obviamente, existen).

A continuación, definir

$$f(x) = \int_0^x g(s) ds.$$

A continuación, $f$ es stricly aumento en $[0,1]$ y es diferenciable y $f'(x)= g(x)$$(0,1]$. Para comprobar que el $f$ también es diferenciable en a $0$, considere la posibilidad de

$$R(x) = \frac{f(x) - f(0)}{x} = \frac 1x \int_0^x g(s) ds.$$

Ahora si $ 2^{-m-1} < x\le 2^{-m}$, tenemos

$$|R(x)| \le 2^{m+1} \int_0^{2^{-m}} g(s) ds \le 2^{m+1}\sum_{k=m}^\infty \frac{1}{2^{2k+1}} = \sum_{k=m}^\infty \frac{1}{2^{2k-m}}\le \frac{1}{2^m}\sum_{k=m}^\infty\frac{1}{2^{k-m}} = \frac{1}{2^{m-1}}$$

Por lo tanto $|R(x)| \to 0$$x\to 0$. Esto demuestra que $f$ también es diferenciable en a $0$.

Ahora esta función es un ejemplo, porque $g(x)$ es no acotada (por lo tanto no Riemann integrable).

Comentario permítanme aclarar un poco. Primero de todo, $g$ no es continua en a $0$. Sin embargo es Lebesgue integrable (por lo tanto, tiene sentido definir $f$ como una parte integral de la $g$).