Ejemplo de una secuencia divergente

Question

Quiero producir una secuencia divergente para que $|x_n - x_{n-1}| \to 0$. Hasta ahora, sólo he sido capaz de demostrar que $$\frac{x_n}{n} \to 0$$, lo que realmente no ayuda.

Answer 1

El uso de la secuencia de $(1,1+\frac 12,1+\frac 12+\frac 13,\ldots )$.

Answer 2

Otro ejemplo sería el de $x_n=\ln n$, desde

$\ln n\rightarrow\infty$ pero $\ln n-\ln(n-1)=\ln\frac{n}{n-1}\rightarrow\ln 1=0$.

Answer 3

En general, vamos a $\{x_n\}$ ser una secuencia divergente con $\lim_{n\rightarrow\infty}x_n/n=0$; si $\lim_{n\rightarrow\infty} x_n-x_{n-1}=L,$ considera $\{y_n:=x_n-nL\}.$ Si $\{y_n\}$ converge, entonces también lo hace $$\{y_n/n=y_n\cdot \frac{1}{n}=x_n/n-L\},$$ whose limit is therefore, according to a basic theorem in calculus, $$=\lim_{n\rightarrow\infty}y_n\cdot\lim_{n\rightarrow\infty}1/n=0,$$ a contradiction unless $L=0.$
Por lo tanto, cuando se $L\not=0,$ la secuencia de $\{y_n\}$ diverge, con $$\lim_{n\rightarrow\infty} y_n-y_{n-1}=\lim_{n\rightarrow\infty} x_n-x_{n-1}-L=0.$$
Esto muestra que lo que usted ha tratado de ayuda, de hecho.
Espero que esto ayude.