Que buscan un Más Elegante de la Prueba a la Expectativa de la Desigualdad

Question

Deje $X$ $Y$ ser yo.yo.d. variables aleatorias, y $\mathbb E[|X|]<\infty$, demuestran que, a $$\mathbb E[|X+Y|]\geq\mathbb E[|X-Y|].$$

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Esta pregunta es una re-publicación de la expectativa de la desigualdad. Puedo demostrar esto con la integración. Pero debe haber una forma más elegante de la prueba a través de tal vez un argumento de simetría. Alguien puede venir para arriba con tal persona?

Answer 1

Una primera observación es que el $|x+y|\geqslant|x-y|$ si y sólo si $xy\geqslant 0$, por lo que la definición de $$f(x,y):=|x+y|-|x-y|,$$ la positividad de $f$ está vinculado al de la $xy$. Nos gustaría encontrar un más manejable expresión para $f$.

• Suponga que $x\gt 0$$ y\gt 0$. Entonces $f(x,y)=x+y-|x-y|=2\min\{x,y\} =\min\{|x|,|y|\}$.
• Desde $f(-x,-y)=f(x,y)$ obtenemos $f(x,y)=2\min\{|x|,|y|\}$ si $xy\gt 0$.
• Suponga que $x\gt 0$$y\lt 0$. A continuación,$x-y\gt 0$, por lo tanto $|x-y|=x-y$ $$f(x,y)=|x+y|+y-x=-(x-y-|x-(-y)|)=-2\min\{x,-y\}=-2\min\{|x|,|y| \}.$$
• Por la simetría de $f$, podemos obtener esta expresión si $x\lt 0$$y\gt 0$.

En resumen: para cada una de las $(x,y)\in\mathbf R^2$, $$f(x,y)= 2\min\{|x|,|y|\}\left(\mathbf 1\{xy\gt 0\}-\mathbf 1\{xy\lt 0\}\right).$$ Ahora podemos calcular la expectativa: utilizando el hecho de que la variable aleatoria se yo.yo.d., tenemos $$\mathbb E[\min\{|X|,|Y|\}\mathbf 1\{XY\gt 0\}]=\int_0^{+\infty}\mu\{X\gt t\}^2+ \mu\{-X\gt t\}^2\mathrm dt \mbox{ and } $$ $$\mathbb E[\min\{|X|,|Y|\}\mathbf 1\{XY\lt 0\}]=2\int_0^{+\infty}\mu\{X\gt t\}\cdot \mu\{-X\gt t\} \mathrm dt. $$ Esto se deduce de la igualdad
$$\mathbb E[Y]=\int_0^{+\infty}\mu\{Y\gt t\}\mathrm dt $$ y el hecho de que $$\mu\left(\{ \min\{|X|,|Y|\}\gt t \}\cap\{X\gt 0\}\cap\{Y\gt 0\}\right) =\mu\{X\gt t\}\mu\{Y\gt t\} ,$$ $$\mu\left(\{ \min\{|X|,|Y|\}\gt t \}\cap\{X\lt 0\}\cap\{Y\lt 0\}\right) =\mu\{X\gt t\}\mu\{-I\gt t\}\mbox{ y } $$ $$\mu\left(\{ \min\{|X|,|Y|\}\gt t \}\cap\{X\lt 0\}\cap\{Y\gt 0\}\right) =\mu\{X\gt t\}\mu\{-I\gt t\}. $$ Así podemos inferir que $$\mathbb E|X+Y|-\mathbb E|X-Y|=2 \int_0^{\infty}\left(\mu\{X\gt t\}-\mu\{X\gt t\} \right)^2\mathrm dt. $$ Esto le da la quería límite inferior, y muestra que la igualdad se logra si y sólo si $X$ es simétrica.