Para que $x\in \mathbb{R}$, $\sum_{n=1}^\infty \left(\frac{x^{2n}}{n} - \frac{n^{2x}}{x}\right)$ convergen?

Question

Tengo que estudiar para que valores de $x \in \mathbb{R}$ la siguiente serie converge:

$$\sum_{n=1}^\infty \left(\frac{x^{2n}}{n} - \frac{n^{2x}}{x}\right)$$

Yo sólo era capaz de decir que la condición necesaria para la convergencia de la serie, $\left(\frac{x^{2n}}{n} - \frac{n^{2x}}{x}\right) \to 0$, está satisfecho iff $-1<x<0$, pero estoy atascado. ¿Cómo completar el problema?

Answer 1

Desde que encontró la condición necesaria $-1 < x < 0$, se deduce que

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{x^{2n}}{n}$$

converge (absolutamente) para todos estos valores de $x$. Así, por $-1 < x < 0$, el de la serie

$$\sum_{n=1}^\infty \biggl(\frac{x^{2n}}{n} - \frac{n^{2x}}{x}\biggr)\tag{1}$$

converge si y sólo si

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{n^{2x}}{x}$$

converge. El factor constante $\frac{1}{x}$ no influye en la convergencia, por lo que usted necesita para ver cuando

$$\sum_{n=1}^\infty n^{2x}$$

converge. Es bien sabido que la serie converge si y sólo si $2x < -1$, lo $x < -\frac{1}{2}$.

Juntos, nos encontramos con que la serie $(1)$ converge si y sólo si $-1 < x < -\frac{1}{2}$.

Desde

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{x^{2n}}{n} = \log \frac{1}{1-x^2}$$

y

$$\sum_{n=1}^\infty n^{2x} = \zeta(-2x),$$

la suma de la serie $(1)$ es

$$\sum_{n=1}^\infty \biggl(\frac{x^{2n}}{n} - \frac{n^{2x}}{x}\biggr) = \log \frac{1}{1-x^2} - \frac{\zeta(-2x)}{x}.$$