Cuando planteamos una matriz cuyas filas o columnas suman 1, a la potencia de 2, 3, ..., n, ¿por qué la matriz resultante tiende a estabilizarse después de algunos n?

Question

Me di cuenta de este patrón interesante, mientras que hacer una multiplicación de la matriz tarea dada en la escuela. También, si las filas suma a 1, después de criar a una lo suficientemente grande n, tanto en sus filas serán idénticos. Mismo con las columnas si los valores de la columna suma a 1 en la matriz. ¿Por qué sucede esto?

Por ejemplo, si $B=\begin{pmatrix}0.6& 0.4\\ 0.15& 0.85\end{pmatrix}$ es nuestra matriz, entonces:

$$B=\begin{pmatrix}0.6000& 0.4000\\ 0.1500& 0.8500\end{pmatrix}$$ $$B^2=\begin{pmatrix}0.4200& 0.5800\\ 0.2175& 0.7825\end{pmatrix}$$ $$B^3=\begin{pmatrix}0.3390& 0.6610\\ 0.2479& 0.7521\end{pmatrix}$$ $$B^{10}=\begin{pmatrix}0.2730& 0.7270\\ 0.2726& 0.7274\end{pmatrix}$$ $$B^{20}=\begin{pmatrix}0.2727& 0.7273\\ 0.2727& 0.7273\end{pmatrix}$$ $$B^{100}=\begin{pmatrix}0.2727& 0.7273\\ 0.2727& 0.7273\end{pmatrix}$$ $$B^{1000}=\begin{pmatrix}0.2727& 0.7273\\ 0.2727& 0.7273\end{pmatrix}$$

Answer 1

Esto no siempre sucede.

Considere la posibilidad de $A=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$. A continuación, $A^{n}=I$ $n$ a y $A^n=A$ $n$ impar.

Considere la posibilidad de $C=\begin{pmatrix}2&-1\\-1&2\end{pmatrix}$. A continuación,$C^n=\begin{pmatrix}\frac{3^n+1}2&\frac{1-3^n}2\\\frac{1-3^n}2&\frac{3^n+1}2\end{pmatrix}$, es decir, todas las entradas de la matriz crecer a $\pm \infty$.

La diferencia en tus ejemplos es este: Mientras que el $A$ $c$ tiene un vector propio de valor propio $1$, es decir, no existe $v\ne 0$ $Av=v$ (resp. $Cv=v$), esto no es estrictamente más grande en valor absoluto: Nos encontramos con $w\ne 0$ $Aw=-w$ (para un vector propio de valor propio $-1$, que es tan grande como $1$ en valor absoluto), resp. con $Cw=3w$, que es mucho más grande de lo $1$. De hecho, $v=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}$ $w=\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}$ tienen las propiedades descritas por tanto $A$$C$.

Mientras que la ocurrencia de la misma $w$ es algo arbitrario (o porque no me moleste en hacer más complicado ejemplos), la ocurrencia de la misma $v$ en mis ejemplos no es por casualidad: El hecho de que la fila-sumas son todos iguales a $1$ significa precisamente que la multiplicación de la matriz con el todo-entradas-son-un vector que produce el all-entradas-son-un vector. (Por lo $v$ es también de autovalor $1$ por su ejemplo de matriz de $B$). Lo que hace que su ejemplo diferente es que el otro autovalor (sí, hay otra) es estrictamente menor en valor absoluto que $1$ (sin exhibir el correspondiente vector propio, puedo ver de inmediato que el autovalor es $0.45$ - de ser sorprendido por el mi magia o seguir adelante y encontrar algún lugar para aprender más acerca de autovalores y esas cosas ;) )

El punto interesante es que el $v,w$ formulario de una base de $\Bbb R^2$, que es cualquier vector $u$ puede ser escrito como $u=av+bw$. De ello se desprende que $C^nu=C^n(av+bw)=aC^nv+bC^nw=a1^nv+b3^nw$. Por lo tanto, a menos que $b=0$ (es decir, a menos que $u$ es exactamente un múltiplo de $v$), sumando $b3^nw$ tarde o temprano dominar y $C^nu$ comenzará a crecer $\sim 3^n$. De hecho, usted puede notar que, en lugar de $C^n$ sí, la matriz $\frac1{3^n}C^n$ "estabiliza" después de unos pocos pasos. Del mismo modo, nos encontramos con $A^nu = av+b(-1)^nw$, que será siempre la vuelta entre dos valores. Pero por su ejemplo de matriz de $B$ tenemos (con diferentes $w$ que yo soy demasiado perezoso para calcular) $B^nu=av+b\cdot 0.45^n w$. Esta vez $|0.45|<1$ implica que el $w$-parte tienden a cero, como se $n$ crece, es decir, para un gran $n$ el efecto de la $B^n$ sobre cualquier vector es aproximadamente el que se asignan a su cuota de $v$; ya que esta aproximación no depende de $n$ $B^n$ (lo suficientemente grande como para $n$) son prácticamente iguales.

Answer 2

Estas matrices se denominan matrices Estocásticas, cuando usted aprender más acerca de las matrices usted va a oír hablar de algo que tienen que se llama autovalores. Estos estocástico matrices tienen autovalores que uno es 1 y los demás tienen de módulo (valor absoluto) $< 1$. Esto significa que un particular (columna) del vector serán preservados y todos los demás se disminuyen en magnitud. Para estocástico matrices el vector que se conserva (ha autovalor 1) es siempre el vector completo de.

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Hay muchas interpretaciones o usos de tales matrices, lo que la suma es igual a 1 se puede interpretar como que está dentro de los paréntesis

• Aproximado de difusión en ciencias ( materia / energía es indestructible, por lo que el total se conserva )
• Calcular las probabilidades ( suma de las probabilidades de todos los eventos = 1 ).

Answer 3

Otro ejemplo, cuando esto no sucede, es que si usted tiene una matriz $$G_\epsilon = \left[\begin{array}{cc}1-\epsilon^2/2 &\epsilon \\-\epsilon & 1-\epsilon^2/2\end{array}\right]$$ for small real positive $\epsilon$, a pesar de no tener exactamente suma 1 es interesante. Si usted está aburrido y tiene el tiempo, usted puede experimentar con la crianza de este tipo de matriz a los poderes superiores.