Cuando se aplica el $\epsilon -\delta$ definición de continuidad de la función, que por lo general se supone que el $\epsilon$ a ser lo suficientemente pequeño. Sin embargo, cómo el pequeño debe el$\epsilon$? Intuitivamente es bastante razonable para sólo mencionar los pequeños de forma imprecisa pero si la función de vibración con frecuencia en algún momento, tenemos que considerar las $\epsilon$ muy pequeño, pero luego no sé cómo pequeño debe ser definida. Qué es lo que la definición de decir pequeña $\epsilon$?
Respuestas
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Hagen von Eitzen
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Las definiciones dice que para todos los positivos $\epsilon$ usted puede encontrar algunos positivos $\delta$. En ese sentido, $\epsilon$ puede ser considerado arbitrariamente pequeño.
Lo que probablemente ocurre es la siguiente: a Veces, con el fin de elegir un adecuado $\delta$, se necesita que el $\epsilon$ es menor de lo que algunos (positivo!) número. Esto no le hace daño en la medida en que siempre podemos suponer sin pérdida de generalidad que $\epsilon$ es menor que este número.
Por ejemplo, si usted tiene una expresión para $\delta$ (dependiendo $\epsilon$) y esto sólo funciona (por ejemplo, solo es positivo) si $\epsilon<10$, entonces usted puede escribir en su prueba "Wlog., $\epsilon<10$". De hecho, Si así logran demostrar que para todos los $\epsilon>0$ $\epsilon<10$ existe un $\delta$ ( ... ), a continuación, un vistazo más de cerca a la definición de continuidad ponen de manifiesto que este hecho demuestra que no es tal, $\delta$ todos los $\epsilon>0$: está "permitido" para utilizar un $\delta$ a un mayor $\epsilon$, incluso si ese $\delta$ es la "intención" de algunos de los más pequeños $\epsilon$.
Si miramos la definición que en realidad no dice pequeño (o al menos no debería, desde pequeño es un término relativo). Todo lo que tiene es que para cualquier $\epsilon >0$ no es un porcentaje ($\delta > 0$ ... Así que la definición simplemente dice que no importa lo positivo $\epsilon$ usted puede venir para arriba con, no tiene que existir esta positiva $\delta$ ...
¿Por qué podría alguien pensar que de $\epsilon$ como empezar pequeño? Eso es porque el "problema" en la búsqueda de un adecuado $\delta$ se convierte en "más difícil" que el de menor $\epsilon$ es. Hay (en cierto sentido) menos opciones para $\delta$ menor $\epsilon$ es.
Como se ha mencionado en el comentario de abajo (@Daid Mitra) otra forma de pensar en el porqué $\epsilon$ debe ser pequeño es que para los pequeños $\epsilon$ estamos más cerca del punto que estamos considerando.
Josué
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anonymous
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En adición a lo anterior, es a menudo el caso cuando el uso de la continuidad (y otros tipos de declaraciones similares) que vamos a utilizar el $\epsilon-\delta$ definición mediante la selección de un muy pequeño $\epsilon$ con el fin de aproximar alguna otra cantidad. En este caso, la pequeñez de $\epsilon$ depende del contexto, y que a menudo se dejan de lo pequeño $\epsilon$ será hasta el fin de la discusión, así que podemos ver lo que será necesario.
