¿Dónde está la prueba de $\sqrt 2$ es irracional se rompe al intentar demostrar lo mismo para $\sqrt 4$ ?

Question

Estoy tratando de encontrar donde la prueba común por contradicción que $\sqrt 2$ es irracional se rompe al tratar de demostrar $\sqrt 4$ es irracional.

Supongamos que $\left(\frac pq\right)^2=4$ y $\gcd(p,q)=1$ . Supongo que podría dejar $p=2, q=1$ y se haga, pero ¿por qué es eso un fallo adecuado de la prueba? Si no lo es, ¿dónde más se rompe la prueba?

Continuando con la "prueba": Entonces $p^2=4q^2$ Así que $p$ es uniforme, es decir, $p=2r$ . Esto implica que $4r^2=4q^2$ o que $q=r$ .

Si $p=2r$ y $q=r$ entonces $\gcd(p,q)=r$ que contradice $\gcd(p,q)=1$ , dejándonos con la insostenible conclusión de que $\sqrt 4$ es irracional.

Answer 1

No contradice la hipótesis de la prima relativa porque podemos tomar $r=1$ .

Answer 2

Creo que este es un buen ejemplo de cómo las pruebas por contradicción son una mala costumbre. Una vez que te encuentras con una contradicción, crees que has terminado. ¿Pero cómo sabes que no acabas de cometer un error, introduciendo una nueva contradicción?

Aquí hay una prueba de que $\sqrt{2}$ es irracional, lo cual no es una prueba por contradicción y, de paso, te dice exactamente lo que ocurre con $\sqrt{4}$ . La diferencia entre esta prueba y una prueba por contradicción es que todo lo que voy a decir es cierto.

La idea clave es que la factorización primaria única puede extenderse a los números racionales: del mismo modo que cualquier número entero no nulo $n$ tiene una única factorización prima

$$n = \pm \prod_p p^{\nu_p(n)}$$

donde los exponentes $\nu_p(n)$ son enteros no negativos y el producto pasa por todos los primos, cualquier número racional $r$ tiene una única factorización prima

$$r = \pm \prod_p p^{\nu_p(r)}$$

donde los exponentes $\nu_p(r)$ ahora se permite que sean negativos. Si escribimos $r$ como una fracción $\frac{n}{m}$ entonces la factorización de $r$ viene dada simplemente por la división de la factorización de $n$ por la factorización de $m$ y los exponentes se restan.

La razón por la que es genial escribir los exponentes $\nu_p(r)$ explícitamente en función de $r$ es que esto facilita la afirmación de la muy importante observación de que cuando se multiplican dos números racionales juntos, los exponentes en sus factorizaciones primos únicas se suman:

$$\nu_p(rs) = \nu_p(r) + \nu_p(s).$$

En particular,

$$\boxed{ \nu_p(r^2) = 2 \nu_p(r) }.$$

Es decir, si $r^2$ es el cuadrado de un número racional, entonces los exponentes en su factorización prima deben ser todos pares. Entonces, ¿por qué no puede $2$ sea el cuadrado de un número racional? Porque uno de los exponentes de su factorización primaria, es decir, el exponente de $2$ - es impar. ¿Y por qué no $4$ sucumbir a este argumento? Porque $4 = 2^2$ por lo que todos los exponentes de su factorización primaria son pares.

Este argumento demuestra sin mayor dificultad que muchos otros números son irracionales además de $\sqrt{2}$ : es decir, si $n$ y $k$ son enteros positivos, entonces $\sqrt[k]{n}$ es racional si y sólo si cada exponente $\nu_p(n)$ en la factorización primaria de $n$ es divisible por $k$ .

Answer 3

Otra prueba común que $\sqrt{n}$ es irracional si $n$ no es un cuadrado perfecto está aquí: $\sqrt{17}$ es irracional: el Principio de Ordenación del Bien

Depende del hecho de que $n$ no es un cuadrado perfecto si y sólo si $\lfloor \sqrt{n} \rfloor < \sqrt{n} $ .