Campos de galgas y cuerdas: Ecuaciones de bucle

Question

Estoy intentando deducir la Ec. (7.25) (p. 117) del libro de Polyakov:

$$ \delta \Psi (C) ~=~ \int_{0}^{2\pi} {\rm P} \left(F_{\mu\nu}(x(s)) \exp \oint_C A_\mu dx^\mu \right)\dot{x}_\nu \delta x_\mu(x) \, {\rm d} s, \tag{7.25} $$

donde el factor de fase no abeliano alrededor de un bucle cerrado $C$ se define como

$$ \Psi(C) ~=~ {\rm P}\exp \left(\oint A_\mu dx^\mu \right) = {\rm P}\exp \left(\int_{0}^{2\pi} A_\mu \dot{x}_\mu\, {\rm d}s \right). \tag{7.1} $$

Parece que utiliza la relación que figura en la p. 116:

$$ \delta \, {\rm P} \exp \int_{0}^{2\pi} M(\tau) {\rm d}\tau ~=~ \int_{0}^{2\pi}{\rm d}t\,{\rm P} \left(\delta M(t) \exp \int_{0}^{2\pi}M(\tau){\rm d}\tau\right). \tag{7.24b} $$

Cotejando con (7.25) encuentro $\delta A_\nu = F_{\mu\nu} \delta x_\mu$ . Esta relación parece decir que si cambio la posición del bucle en el parámetro $s$ por $\delta x_\mu(s)$ entonces el potencial vectorial cambia en $\delta A_\nu(x(s)) = F_{\mu\nu}(x(s)) \delta x_\mu(s)$ .

No sé cómo derivar esta relación. ¿Es legítima?

Answer 1

1. Comenzamos con una teoría gauge no abeliana. La derivada covariante es $$D~=~\mathrm{d}+A, \qquad A~=~\mathrm{d}x^{\mu} A_{\mu},\tag{A}$$ mientras que la intensidad de campo es $$\begin{align} \frac{1}{2}F_{\mu\nu}\mathrm{d}x^{\mu}\wedge\mathrm{d}x^{\nu} ~=~&F~=~D \wedge D\cr ~=~&\frac{1}{2}[D\stackrel{\wedge}{,}D]\cr ~=~&[\mathrm{d},A] + \frac{1}{2}[A\stackrel{\wedge}{,}A]\cr ~=~&\mathrm{d}A + A \wedge A, \end{align} \tag{6.35}$$ $$ F_{\mu\nu}~=~\partial_{[\mu}A_{\nu]} + [A_{\mu},A_{\nu}]. \tag{6.36}$$

2. Consideremos a continuación una línea de Wilson no abeliana $^1$ $$ U(t_2,t_1)~=~ \left\{\begin{array}{rcl} T\exp\left(-\int_{t_1}^{t_2}\! A\right)&{\rm for}& t_1\leq t_2,\cr AT\exp\left(-\int_{t_1}^{t_2}\! A\right)&{\rm for}& t_2\leq t_1,\end{array}\right. \tag{7.1'} $$ sobre una curva (posiblemente abierta) $C$ . Aquí $(A)T$ indica (anti)ordenación del tiempo . Para simplificar, supongamos a partir de ahora que $t_1\leq t_2$ . Entonces podemos escribir $$ U(C)~=~T\exp\left(-\int_C\! A\right) \tag{7.1'} $$ con una curva parametrizada $C:[t_1,t_2]\to\mathbb{R}^4$ .

   La línea de Wilson (7.1') es la solución de la siguiente EDO $$\begin{align} \frac{dU(t_2,t_1)}{dt_2} ~=~&-\dot{x}^{\mu}(t_2) A_{\mu}(t_2) U(t_2,t_1), \cr \frac{dU(t_2,t_1)}{dt_1} ~=~&U(t_2,t_1)\dot{x}^{\mu}(t_1) A_{\mu}(t_1),\cr U(t_1,t_1)~=~&{\bf 1}.\end{align}\tag{B}$$

3. Ahora hacemos una variación infinitesimal de la curva $C$ a una nueva curva $C^{\prime}$ . La curva variada $C^{\prime}$ se supone que tiene los mismos puntos finales que $C$ y el mismo intervalo de parametrización $[t_1,t_2]$ . Podemos definir una 2-superficie infinitesimalmente delgada $\Sigma$ con límite orientado $$ \partial \Sigma~=~ C^{\prime}-C \tag{C}$$ dada por las dos curvas $C$ y $C^{\prime}$ . Esto induce un cambio (pasivo) $\delta A$ del campo gauge $A$ .

   NB: Tenga en cuenta que los 2 lados $$ \int_{C}\! \delta A ~=~ \int_{C^{\prime}}\! A-\int_{C} \!A ~=~ \oint_{\partial\Sigma} \!A ~=~ \iint_{\Sigma}\! \mathrm{d} A \tag{D} $$ y $$ \iint_{\Sigma}\! F ~=~ \int_C\! \delta x^{\mu} F_{\mu\nu} \mathrm{d} x^{\nu} \tag{E} $$ de Teorema de la circulación de Stokes son no necesariamente iguales para campos gauge no abelianos. $^2$

4. El cambio infinitesimal (pasivo) de la holonomía es $$\begin{align} \delta U(C)~=~~&U(C^{\prime})-U(C)\cr ~\stackrel{(7.1')}{=}&-T\left[\exp\left(-\int_C\! A\right)\int_C\! \delta A\right]\cr ~\stackrel{(7.1')}{=}&-\int_{t_1}^{t_2}\! dt~U(t_2,t)\delta[\dot{x}^{\mu}(t)A_{\mu}(t)]U(t,t_1)\cr ~=~~&-\int_{t_1}^{t_2}\! dt~U(t_2,t)\left[\frac{d\delta x^{\mu}(t)}{dt}A_{\mu}(t)+\dot{x}^{\mu}(t)\delta A_{\mu}(t)\right]U(t,t_1)\cr ~\stackrel{\text{int. by parts}}{=}& \text{bulk terms} ~+~ \text{boundary terms},\end{align}\tag{F}$$ donde $$\begin{align} \text{bulk}&\text{ terms}\cr ~=~&\int_{t_1}^{t_2}\! dt~U(t_2,t)\left[ \frac{\stackrel{\leftarrow}{d}}{dt}\delta x^{\mu}(t)A_{\mu}(t) +\delta x^{\mu}(t)\dot{A}_{\mu}(t)\right.\cr &\left. -\dot{x}^{\mu}(t)\delta A_{\mu}(t) +\delta x^{\mu}(t)A_{\mu}(t)\frac{\stackrel{\rightarrow}{d}}{dt} \right]U(t,t_1)\cr ~\stackrel{(B)}{=}~&\int_{t_1}^{t_2}\! dt~U(t_2,t)\left[ \dot{x}^{\nu}(t) A_{\nu}(t)\delta x^{\mu}(t)A_{\mu}(t) +\delta x^{\mu}(t)\dot{x}^{\nu}(t)\partial_{\nu}A_{\mu}(t)\right.\cr &\left. -\dot{x}^{\mu}(t)\delta x^{\nu}(t)\partial_{\nu} A_{\mu}(t) -\delta x^{\mu}(t)A_{\mu}(t)\dot{x}^{\nu}(t) A_{\nu}(t) \right]U(t,t_1)\cr ~\stackrel{(6.36)}{=}&\int_{t_1}^{t_2}\! dt~U(t_2,t) \dot{x}^{\mu}(t) F_{\mu\nu}(t)\delta x^{\nu}(t) U(t,t_1)\cr ~=~&T\left[\exp\left(-\int_C\! A\right) \int_C\! F_{\mu\nu}\mathrm{d}x^{\mu} \delta x^{\nu}\right] \cr ~\stackrel{(E)}{=}~&-T\left[\exp\left(-\int_C\! A\right) \iint_{\Sigma}\! F\right] ,\end{align}\tag{7.25'}$$
   y $$\begin{align} \text{boundary terms}~=~&-\left[U(t_2,t)\delta x^{\mu}(t)A_{\mu}(t)U(t,t_1)\right]_{t=t_1}^{t=t_2}\cr ~=~& U(t_2,t_1)\delta x^{\mu}(t_1)A_{\mu}(t_1) -\delta x^{\mu}(t_2)A_{\mu}(t_2)U(t_2,t_1)\cr ~\stackrel{(H)}{=}~&0,\end{align}\tag{G}$$ ya que los puntos finales no varían $$ \delta x^{\mu}(t_1)~=~0~=~\delta x^{\mu}(t_2).\tag{H}$$ La ecuación (7.25') responde a la pregunta principal de OP sobre la ecuación (7.25). Los signos menos se deben a diferentes convenciones de signos.

Referencias:

1. A.M. Polyakov, Campos galvánicos y cuerdas, 1987; Capítulo 7.

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$^1$ Una línea de Wilson es jerga física para holonomía . Si la curva $C$ es cerrado, hablamos de un bucle de Wilson en lugar de una línea de Wilson. Preferimos utilizar la ordenación temporal en lugar de la ordenación de trayectorias, ya que esta última es ambigua. La ref. 1. utiliza un ordenación de rutas $P$ de izquierda a derecha,

$$ \Psi(C)~:=~ P e^{\int_{C} \!A}, \tag{7.1} $$

que induce un signo opuesto frente al campo gauge $A$ en comparación con la ec. (7.1').

$^2$ Mencionemos para completar que existe un Teorema de Stokes no abeliano que toma un forma exponenciada

$$ P\exp\oint_{\partial\Sigma} \! A~=~ P_2\exp\iint_{\Sigma}\! F. \tag{I}$$

Depende de una elección de ordenación de superficies $P_2$ .

Answer 2

Consideremos el factor de fase no abeliano alrededor de una trayectoria cerrada $C$ , \begin{equation} \psi(C) = \mathrm{P} e^{\oint A_\mu dx^\mu} = \mathrm{P} e^{\int_0^{2\pi} dt \, A_\nu(x(t)) \dot{x}^\nu(t) } \end{equation} Tomemos la derivada funcional con respecto a $x^\mu(s)$ \begin{align} \frac{\delta}{\delta x^\mu(s)} \psi(C) %& = \int_0^{2\pi} dt \, \mathrm{P} \left[ \partial_\mu A_\nu(x(t))\delta(s-t)\dot{x}^\nu(t) + A_\nu (x(t))\delta^\nu_\mu \dot{\delta}(s-t) \right] e^{\int_0^{2\pi} dt \, A_\nu(x(t)) \dot{x}^\nu(t) } \\ & = \int_0^{2\pi} dt \, \left\{ \mathrm{P}e^{\int_0^{t} dt' \, A_\nu\dot{x}^\nu} \left[ \partial_\mu A_\nu(x(t))\delta(s-t)\dot{x}^\nu(t) + A_\mu (x(t))\dot{\delta}(s-t)\right] \mathrm{P}e^{\int_t^{2\pi} dt' \, A_\nu \dot{x}^\nu} \right\} \end{align} Ahora integramos por partes el $t$ -derivada de la función delta, \begin{align} \frac{\delta}{\delta x^\mu(s)} \psi(C) & = \int_0^{2\pi} dt \, \mathrm{P}e^{\int_0^{t} dt' \, A_\nu\dot{x}^\nu} \left(\partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu + [A_\mu, A_\nu]\right)_{x(t)} \dot{x}^\nu(t)\delta(s-t) \mathrm{P}e^{\int_t^{2\pi} dt' \, A_\nu\dot{x}^\nu} \notag \\ & \quad + \mathrm{P} e^{\int_0^{2\pi} dt A_\nu \dot{x}^\nu}A_\mu(x(2\pi))\delta(s-2\pi) - A_\mu(x(0))\mathrm{P} e^{\int_0^{2\pi} dt A_\nu \dot{x}^\nu}\delta(s) \\ & = \mathrm{P}e^{\int_0^{s} dt \, A_\nu\dot{x}^\nu} F_{\mu\nu}(x(s)) \dot{x}^\nu(s)\mathrm{P}e^{\int_s^{2\pi} dt \, A_\nu\dot{x}^\nu} \end{align} donde hemos descartado los términos de frontera por periodicidad.