Hay siempre singularidades en el borde de un disco de convergencia?

Question

Tomar una función es analítica en 0 y considerar su Serie de Maclaurin. Aquí están algunos ejemplos que me voy a referir a:

$$\frac{1}{1-x} =\sum_{n=0}^\infty x^n$$ $$\frac{1}{1+x^2} =\sum_{n=0}^\infty(-1)^nx^{2n}$$ $$\ln(1-x) =-\sum_{n=1}^\infty\frac{x^n}{n}$$ $$\sqrt{1-x} =1-\sum_{n=1}^\infty\frac{(2n-2)!}{2^{2n-1}n!(n-1)!}x^n$$

Cada una de estas series tiene un radio de convergencia es 1. Y cada función

$\bullet$ tiene una singularidad a lo largo del borde del disco de convergencia (en 1, $\pm i$, y 1 en los tres primeros ejemplos, respectivamente) o

$\bullet$ tiene un derivado de una singularidad a lo largo del borde del disco de convergencia (el último ejemplo es de esta manera en la 1).

Mi pregunta es: Supongamos que una función $f$ es analítica en 0 y su Serie de Maclaurin tiene un radio de convergencia $r<\infty$. ¿Tiene que ser el caso de que algunos derivados (0, 1, 2, ...) de $f$ estalla en algún lugar a lo largo del borde del disco de convergencia?

Answer 1

$f(x)=\sum x^n/e^{\sqrt n}$ tiene radio de convergencia 1, y él y todo su término por término derivados convergen todas partes en el círculo unidad. Básicamente, $e^{\sqrt n}$ se extiende hacia el infinito, más rápido que cualquier polinomio, pero más lentamente que cualquier exponencial.