Espacios de Sobolev de orden 2 son conocidos para formar un espacio de Hilbert. Considere la posibilidad de un espacio de Sobolev (orden 2) funciones en el dominio $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$. Lo que es un ejemplo para la base de dicho espacio de Sobolev.
Respuestas
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weeheavy
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Como se mencionó anteriormente, la pregunta no está bien planteada en este formulario ya que la respuesta depende no sólo en el preciso espacio que usted está considerando, pero también en la norma usted está utilizando. Tal vez el siguiente comentario puede no obstante ser útil. Si el espacio puede ser identificado con (o se define como a) el dominio de definición de una desenfrenada, auto-adjunto del operador (como muchos de los útiles son), y si éste ha discreta del espectro, a continuación, sus funciones propias (convenientemente normativa) forma un ONB para el espacio de Sobolev con la correspondiente norma. Ejemplos sencillos son el operador de Laplace en el círculo o la norma uno-dimensional de Schrödinger operador en la línea. Ejemplos más sofisticados son proporcionados por el Laplaciano en una compacta de Riemann colector general o de Schrödinger operadores en condiciones adecuadas en la función potencial.
Svat Krysl
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13
Mi conjetura (un bonito!) base: uso de las funciones de Hermite y las bacterias Gram-Schmidt proceso. Se puede ser mucho más largo, pero el procedimiento y los ingredientes son de la siguiente manera.
1) $h_n' = \sqrt{n/2}h_{n-1} + \sqrt{(n+1)/2)}h_{n+1}, n \geq 0, h_{-1}=0$
2) $h_n$ es lo que se llama el 'físicos polinomios' en el inglés wikipedie, si me remebmer, que se denota por a $\psi_n$ no.
3) Sobolev, el producto sería de $(f,g)_S=(f,g)_0 + (f',g')_0$. Podría ser también el producto que contiene la transformada de Fourier, pero esto me parece más prolongado ($Fh_n$ es agradable, debido a la Wiener thorem, y es igual a $(-i)^nh_n$, pero el factor de $(1+|\xi|^2)^r)$ en el producto en H^r también es un poco molesto la suavidad de la computación.
4) El espacio ($\Omega$ de la PDE-researchres) sería R.
5) la Ventaja de los de Hermite fucntions es debido a su fácil propiedades dimensionales $h_{a_1...a_n}(x^1,...,x^n)=h_{a_1}(x^1)....h_{a_n}(x^n)$ donde $a=(a_1,...,a_n) \in N_0^n.$
Uno debe calcular los tres primeros y luego a ver el sistema de... La derivada de la propiedad de los Ermitaños que permite hablar de la vecina base solamente en términos. Pero esto se debe hacer correctamente. [Formalmente mediante una inducción, después de "adivinar".]
Tenga en cuenta que esto le da la ortogonales, uno debe normalizar de! (En el Sobolev norma!)
Es muy extraño - no he podido encontrar esto se traduce en la literatura (aun no se como ejercicios para los estudiantes). (Polinomios de Chebyshev debe ser ortonormales para $H^1([-1,1])$ pero cambiar el dominio a R cambiar los polinomios sustancialmente incluso si tomamos el dominio correcto diffeomorphic a R, es decir, (-1,1).)
