Demostrar que existe un entero $n$ tal que $n^{1992}$ comienza con $1992$.

Question

Esto fue tomado de un viejo Brasileño Olimpiada Matemática (1992).

Como dice el título, tenemos que demostrar que existe un entero $n$ tal que $n^{1992}$ comienza con $1992$ uno (en la expansión decimal).

En principio estoy esperando una prueba usando algo elemental métodos, a pesar de que alguna solución se agradece y se upvoted.

Answer 1

En otras palabras, desea que la parte fraccionaria de

$$ \log_{10} n^{1992} $$

para estar entre las partes fraccionarias de

$$ \log_{10} \underbrace{111\cdots111}_{\text{1992 1's}} $$ $$\log_{10} \underbrace{111\cdots11}_{\text{1991 1's}}2 $$

Answer 2

Sugerencia: Considere El $n=\left\lfloor\left(\dfrac19\right)^{1/1992}\times10^{2000}\right\rfloor$

Answer 3

Deje $a$ ser el número fromed por $1992$. Entonces estamos buscando para $n$ $k$ tal que $a\cdot 10^k\le n^{1992}<(a+1)\cdot 10^k$, que es $$k+\log a\le 1992\log n<k+\log(a+1). $$ Deje $u=\log a-1991$ $v=\log (a+1)-1992$ $n\in\mathbb N$ deje $f(n)=1992\log n-\lfloor (1992\log n)\rfloor$. Hay números positivos $a,b$ (es decir, $\approx \frac{1992}{\ln10}$ tal que para $n\in\mathbb N$ tenemos $\frac an<f(n+1)-f(n)<\frac bn$ o ambos $f(n)>1-bn$$f(n+1)<bn$. De esta manera se sigue tomando derivados o buscando la expansión binomial de $(n+1)^{1992}$.

Suponga $f(n)\le u$ en casi todas las $n$. A continuación, $f(n+1)>f(n)+\frac an$ en casi todas las $n$, lo cual es imposible debido a $a\cdot\sum \frac1n$ diverge. Por la misma razón, $f(n)$ no puede ser $>u$ en casi todas las $n$. Por lo tanto, hay una infinidad de $n$$f(n-1)\le u<f(n)$. Especialmente, hay $n$$\frac b{n-1}<v-u$, por lo tanto $u\le f(n)<v$. Cada uno de esos $n$ es una solución.

Answer 4

Deje $a=111...111$ Considera

$$a\times 10^k\lt n^{1992}\lt (a+1)\times 10^k \tag{*} $$

Si $k$ suficiente grande, no debe ser un entero $n$ tal que

$$\sqrt[1992]{a}\times 10^{\frac k{1992}}\lt n\lt\sqrt[1992]{a+1}\times 10^{\frac k{1992}} $$

que es $(*)$

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En general, Si $f(x)$ es un polinomio, $a\in \Bbb N$, no debe ser $n\in \Bbb N$ tal que $f(n)$ comienza con $a$

De hecho, Si $k$ suficiente grande, no debe ser un entero $n$ tal que

$$f(n)\lt a\times10^k\lt f(n+1)\qquad f(n+1)-f(n)\lt 10^k$$