Hay un equivalente a $\|f \ast g\|_p \leq \|f\|_1 \|g\|_p$ en los grupos?

Question

Soy nuevo en el Análisis de Fourier sobre ACV grupos y me pregunto si hay un equivalente a la desigualdad $$\|f \ast g\|_p \leq \|f\|_1 \|g\|_p,~~~~~\forall f \in L^1(\mathbb{R}), \forall g \in L^p(\mathbb{R}).$$

No pude encontrar nada de la clase en Rudin del Análisis de Fourier en Grupos.

Answer 1

Hay una versión equivalente de Minokowski la desigualdad localmente compacto grupos, a saber, los siguientes:

Deje $G$ ser localmente compacto grupo, y vamos a $1\leq p \leq \infty$. Supongamos $f \in L^1 (G)$$g \in L^p (G)$. A continuación, $f \ast g$ existe $\mu-a.e.$ y $$ \|f \ast g \|_{L^p} \leq \| f \|_{L^1} \| g \|_{L^p}. $$

La prueba de este resultado es básicamente el mismo como para $G = \mathbb{R}$. El resultado es declarado y demostrado en Grafakos' Clásico Análisis de Fourier como el Teorema de 1.2.10.