Álgebras de Lie de reductora grupos

Question

Deje $k$ ser un algebraicamente cerrado campo de característica positiva y deje $G$ ser conectado división reductiva grupo. Sabemos $G$ es el producto de su centro $Z(G)$ y derivados grupo $[G, G]$ $[G, G]$ es semisimple, entonces, es un producto de la algebraicas simples grupos de $G_1, \ldots, G_n$ correspondiente a la descomposición de la misma raíz del espacio. Por lo $G = G_1\cdots G_nZ(G)$.

Mis preguntas son acerca de la Mentira de álgebras de estos grupos.

1. Es cierto que $\mathrm{Lie}([G, G]) = \mathrm{Lie}(G_1) \times \cdots \times \mathrm{Lie}(G_n)$?

2. Es cierto que $\mathrm{Lie}(G) = \mathrm{Lie}([G, G]) \times \mathrm{Lie}(Z(G))$?

Creo que la primera es verdadera. La dimensión es el adecuado y el $G_i$ conmuta con cada uno de los otros por lo que sus álgebras de Lie debe conmutar así. Me gustaría que el segundo se aplica básicamente la misma razón.

Estoy un poco preocupado de que tal vez algo divertido que puede suceder debido a los productos que no están directa de productos (no puede haber un número finito de intersección que si se toma esquema teóricamente podría tener un álgebra de la Mentira?) y tal vez no debería ser una condición en la característica del campo. Todas las referencias que hablan de estos teoremas de estructura (tengo Malle y Testerman y todos los del GAL: Humphreys, Borel, Springer) nunca hable acerca de lo que esto significa para las álgebras de Lie. Yo sería feliz con una escalera hasta respuesta o una referencia, si alguien sabe de uno.

Answer 1

Edit: Hay algunos problemas con las ideas que en esta respuesta se discutió en los comentarios.

Como se ha discutido en los comentarios, 1. es claro que, si $[G,G]$ es un producto directo de la algebraicas simples grupos, en particular, si $[G,G]$ es simplemente conectado.

Tenga en cuenta que para cualquier semisimple grupo $G$, tenemos una isogeny $\pi : G_{sc} \rightarrow G$ la inducción de un isomorfismo en las álgebras de Lie (esta es la Proposición 9.15 en Malle-Testerman), por lo $\text{Lie}(G) \cong \text{Lie}(G_{sc})$.

Tenemos $[G,G] = G_1\cdots G_n$ un producto de la descomposición en algebraicas simples grupos de $G_i$ y, en consecuencia,$[G,G]_{sc} = (G_1)_{sc} \times \cdots \times (G_n)_{sc}$. El uso de la isomorphisms entre álgebras de Lie inducida por $[G,G]_{sc} \rightarrow [G,G]$ $(G_i)_{sc} \rightarrow G_i$ obtenemos $$ \text{Lie}([G,G]) \cong \text{Lie}([G,G]_{sc}) \cong \prod_{i = 1}^n \text{Lie}((G_i)_{sc}) \cong \prod_{i = 1}^n \text{Lie}(G_i)$$, y esto da 1.

Conectado reductora $G$ tenemos un surjective de morfismos $[G,G] \times Z(G) \rightarrow G$ algebraico de los grupos dado por la multiplicación. El núcleo de este morfismos es finito, por lo tanto su Mentira álgebra es trivial (por ejemplo, Thm. 7.4 una en Malle-Testerman) dando un isomorfismo de álgebras de Lie (Thm. 7.9 en Malle-Testerman) $$\text{Lie}(G) \cong \text{Lie}([G,G] \times Z(G)) \cong \text{Lie}([G,G]) \times \text{Lie}(Z(G)).$$