Enseñar matemáticas de manera intuitiva y provocadora de pensamientos

Question

Soy un tutor privado de matemáticas de nivel de secundaria y preingeniería. Obviamente, solo aquellas personas que tienen dificultades con las matemáticas toman clases particulares. La mayoría de mis estudiantes son en realidad buenos. Quiero decir que no son tontos. Simplemente es que "no les gusta", "odian", "tienen miedo", "se aburren" (estas son sus propias palabras) de las matemáticas. Sienten que las matemáticas son muy abstractas.

No les echo la culpa. Son sus profesores y los libros que siguen. La mayoría de los libros de matemáticas simplemente explican los conceptos matemáticos de manera contundente o de forma abstracta. Estoy buscando algunos libros que enseñen matemáticas de una manera "divertida", "interesante", "intuitiva", "provocativa". Por supuesto, como tutor estoy haciendo todo lo posible para hacer que las matemáticas sean simples e intuitivas, pero los libros también me ayudan a obtener nuevas ideas. Realmente me gusta http://betterexplained.com

Estos son los temas cubiertos en mis clases particulares

Teoría de conjuntos (Conjuntos, Relaciones y Funciones)
Trigonometría
Números complejos
Álgebra lineal
Teoría de números
Geometría (líneas rectas, triángulos, círculos, parábolas, hipérbolas, 3D: esferas, cubos, etc.)
Cálculo (Límites, Cálculo diferencial e integral)
Probabilidad (permutaciones y combinaciones)
Estadística

Estoy buscando cualquier tipo de recurso: libros, artículos, sitios web, videos, software, simulaciones o incluso sugerencias. Necesito cultivar el interés al mismo tiempo que los hago buenos en matemáticas.

Answer 1

Si tu estudiante tiene una fortaleza, puedes aprovecharla. En cierto sentido, eso es de lo que se trata de encontrar "aplicaciones" -- apelar a los valores inmediatos de alguien. Pero también hay un peligro en eso, si todo lo que haces es apelar a los valores inmediatos de alguien, es posible que te veas obligado a construir una noción bastante forzada y limitada de lo que es las matemáticas.

Así que en la enseñanza también es muy útil llevar a los estudiantes a territorio extranjero donde son débiles, y desarrollar su aprecio por lo que pueden haber encontrado inútil o "abstracto". Encontrar aplicaciones no es la única forma de hacer esto -- simplemente proporcionar reinterpretaciones de cosas que conocen y que parecen complicadas puede ser útil. Si algo que les resultaba difícil se vuelve más fácil en un entorno diferente, esto a menudo se percibe como útil.

Estoy enseñando una clase introductoria de cálculo en este semestre. En las últimas clases hemos estado diferenciando funciones trigonométricas. Recientemente, los estudiantes han estado haciendo preguntas como "¿podemos tener una hoja de fórmulas en los exámenes?" El número de cosas que recordar comienza a parecer pesado. Su preocupación es que cosas como la fórmula del ángulo doble o la fórmula para la derivada de $\csc(x)$ son difíciles de recordar. Así que dediqué un poco de tiempo a cómo se puede salir adelante, sin recordar mucho sobre las funciones trigonométricas.

Esta es la idea general que puedes desarrollar:

Tomaré como axioma que la gente sabe cómo son las gráficas de $\sin(x)$ y $\cos(x) -- y los estudiantes deberían ser capaces de deducir estas cosas de que "$(\cos(x),\sin(x))$ es el punto en el círculo unitario al que llegas si colocas una cuerda de longitud $x$ a lo largo del círculo unitario, empezando desde $(1, 0)$ y yendo en sentido contrario a las manecillas del reloj".

Entonces, ¿cómo recuerdas qué es $\sin'(x)$? Dibujas la gráfica de $\sin(x)$, colocas varias rectas tangentes y trazas las pendientes de las rectas tangentes. Observa que las pendientes varían continuamente y rellena los espacios apropiadamente con tu conocimiento de los máximos y mínimos locales de $\sin(x)$. Luego observas que la gráfica se parece a $\cos(x)$, por lo que concluyes que $\sin'(x)$ debe ser $\cos(x)'. Esta no es una conclusión formal, más bien es un argumento intuitivo "bueno, ¿cuán complicado puede ser $\sin'(x)$?".

De manera similar, la fórmula del ángulo doble para $\cos(2x)`. ¿Cómo recuerdas eso? La idea es que nosotros *sabemos* que hay una fórmula que relaciona $\cos(2x)` con $\cos(x)` o $\sin(x)` pero las personas tienden a no tener la forma exacta en el recuerdo inmediato. Dibujo la gráfica de $\cos(x)`, luego dibujo la gráfica de $\cos(2x)` como la gráfica anterior con el doble de frecuencia. $\cos(2x)` tiene el doble de la frecuencia -- también puedes obtener el doble de la frecuencia mirando $\cos^2(x)` o $\sin^2(x)` por lo que dedico tiempo a dibujar la gráfica de esas funciones. Esto implica conocer la gráfica de $\sin(x)` y $\cos(x)`, más la gráfica de $x^2` -- saber que $\cos^2(x)` por ejemplo no solo tiene el doble de frecuencia sino que cuando $\cos^2(x)=0` la función parece cuadrática -- como $x^2` alrededor de esos puntos. A partir de ahí, es simplemente un argumento de escalamiento para decir que $2\cos^2(x)` parece $\cos(2x)+1`.

Entonces, el punto de todo esto es que, con suficiente paciencia e intuición geométrica, todas estas fórmulas que los estudiantes encuentran se pueden presentar como cosas que, **por su propia naturaleza** deben ser fácilmente redescubribles con muy poco escrutinio. En particular, siempre que te sientas lo suficientemente cómodo graficando funciones, es menos energía (y realmente mucho más informativo) recordar las formas de estas identidades intuyéndolas a partir de tus expectativas aproximadas. De esa manera, puedes reinterpretar identidades como

$$\sin(a+b) = \sin(a)\cos(b) + \cos(a)\sin(b)$`

de una manera diferente. El hecho de que esta identidad tenga una forma tan simple es algo sorprendente -- pero una vez que sabes que tiene una forma simple, redescubrirla mediante argumentos no rigurosos y heurísticos es bastante inmediato.

Ciertamente, esta línea de razonamiento no es excelente para todos los estudiantes, ya que asume una cierta familiaridad y una intuición con el graficado que muchos estudiantes pueden no tener. Pero una vez que los estudiantes tienen el conocimiento de que esto es algo en lo que pueden pensar, y que otras personas piensan de esta manera -- que el proceso de descubrimiento está lleno de intuición y conjeturas antes de cualquier cosa rigurosa-- esto los pone en un camino.

Answer 2

No hay una solución milagrosa: la parte más difícil del proyecto es despertar la curiosidad del estudiante por las matemáticas de nuevo. Una vez que logras eso, enseñarles las habilidades para pasar los exámenes es relativamente fácil.

Desafortunadamente, uno suele ser contratado por los padres cuando el estudiante tiene un problema, y no antes, por lo que motivar al estudiante es una parte clave de las sesiones iniciales. Ayuda recordar que los buenos estudiantes que se han desviado de las matemáticas alguna vez fueron buenos estudiantes que disfrutaban de las matemáticas; necesitas tratar de averiguar qué les gustaba de las matemáticas cuando las disfrutaban, y por qué dejaron de disfrutarlas.

Averigua por qué el estudiante está ahí: a menudo los estudiantes necesitan aprobar matemáticas para poder hacer algo en el futuro que les interese (por ejemplo, para ingresar a la universidad); enfocarse en el objetivo puede motivar a algunos estudiantes.

Estoy de acuerdo con J.M. y Ross en que los rompecabezas pueden ser una forma efectiva de involucrar a buenos estudiantes cuyo interés en las matemáticas se ha desviado. Por ejemplo, uno de mis favoritos para despertar el interés en la trigonometría es Table in Corner, donde se utiliza trigonometría elemental para resolver un problema que parece tener muy poca información dada (yo elimino la condición del cuarto de círculo cuando planteo el problema, ya que brinda la oportunidad de discutir la racionalidad de las dos posibles soluciones).

La teoría elemental de números es otra fuente rica de buenos rompecabezas, e incluso trucos como los tests de divisibilidad pueden ser útiles. Recuerdo haber logrado que una estudiante se interesara en practicar el algoritmo de la división larga al presentarle múltiplos exactos de pequeños números primos horrorosos como 13 y 17 para que dividiera. Sabía que no podría saber la tabla de multiplicar del 17 hasta varios miles de lugares, así que ¿de dónde sacaba esos números? Discutimos la plausibilidad de sus sugerencias y la mantuve intrigada durante la mayor parte de la sesión antes de explicarle. Entendió el algoritmo y llegó a comprender básicamente cómo funciona de una sola vez.

También recuerda que la abstracción significa cosas diferentes para diferentes personas. Los estudiantes suelen decir que las matemáticas son abstractas porque solo las ven utilizadas en los libros de texto, donde cada problema está claramente preconcebido, absolutamente divorciado del mundo real, y es uno de una colección de tipos estándar (los rompecabezas suelen evitar el mismo problema al ser preconcebidos pero no estándar). Dado que los libros de texto nunca ofrecen aplicaciones creíbles del mundo real, puedes hablar sobre aplicaciones con frecuencia, de hecho es útil tener un banco de aplicaciones no preconcebidas para la mayoría de los temas que quieras enseñar. Libros de autores como Ian Stewart y Keith Devlin pueden ayudarte en esto. Por lo general prefiero decir algo como "¿a quién le importa, es divertido" (y luego dar una aplicación un poco más tarde), pero eso soy yo - Your Mileage May Vary (tu opinión puede variar).

Answer 3

Depende de la motivación del estudiante. ¿Cuando se contrata para la escuela secundaria, es por los padres cuando el estudiante tiene un problema? ¿Y en preingeniería es por el estudiante? Esta es una gran diferencia. Si el estudiante no está motivado, no tengo ideas. Si está motivado, mostrar para qué sirve las matemáticas, con problemas en el área de interés, es un buen enfoque. He hecho un poco de esto y lo que funcionó allí fue simplemente tomar su texto y trabajar ejercicios. El trabajo uno a uno parecía ayudar a la comprensión. Para la situación general de la escuela secundaria, nuevamente asumiendo la motivación, hay muchos libros de problemas que requieren creatividad. Martin Gardner y Peter Winkler son los nombres que primero se me vienen a la mente, pero hay muchos más. Además, los primeros problemas en projecteuler.org te dan mucho con qué trabajar.

Answer 4

Esta no es una respuesta amplia como las informativas que ya se han publicado, pero solo es un recurso único que puede que no sea muy conocido: el libro How Round is Your Circle. Hace hincapié en las conexiones entre la física y las matemáticas, como lo indica su subtítulo: Where Engineering and Mathematics Meet. Es probable que sea demasiado avanzado en muchos aspectos para su clientela, pero tiene una gran cantidad de material que se puede adaptar. He tenido niños de 8º y 9º grado construir eslabones de pantógrafo (se cubren en el Capítulo 3) y aprender que la suma de vectores es conmutativa de una manera muy física. No obtendrás eso directamente de este libro, pero este libro puede darte tales ideas.

Answer 5

Hola, trabajo en una universidad en el Reino Unido como tecnólogo educativo. Es posible que ya hayas visitado el sitio (ahora es bastante famoso), pero he estado muy impresionado por las explicaciones de una amplia gama de conceptos matemáticos en:

http://www.khanacademy.org/

Hace mucho tiempo estudié ingeniería electrónica a nivel de pregrado, ¡si hubiera tenido acceso a este sitio en ese momento, me habría ayudado enormemente!