demuestre que $\cos x,\cos y,\cos z$ no hacen progresión aritmética estrictamente decreciente

Question

Deje $x,y,z\in R$ y tal que $$\sin y-\sin x=\sin z-\sin y\ge 0 $$ lo demuestran:

$$\cos x,\cos y,\cos z$$ no hacen progresión aritmética estrictamente decreciente

mi idea: tenemos $$2\sin y=\sin x +\sin z\cdots\cdots\tag 1$$ y supongamos que existe $x,y,z$ tal que $$2\cos y=\cos x+\cos z\cdots\cdots \tag2$$ y $(1)^2+(2)^2$ tenemos $$4=2+2(\sin x\sin z+\cos x\cos z)=2+2\cos(x-z)$$

entonces $$\cos(x-z)=1\Longrightarrow x=z+k\pi,k\in Z$$ así que $$\cos x=(-1)^k\cos z,\sin x=(-1)^k\sin z$$

¿Entonces?

Answer 1

Los tres puntos $(\cos x, \sin x)$ , $(\cos y, \sin y)$ y $(\cos z,\sin z)$ se encuentran en el círculo unitario y, por hipótesis, son distintas.

Se da que las coordenadas y están en progresión aritmética, y se nos pide que mostremos la $x$ -las coordenadas no lo son.

Si ambos conjuntos de coordenadas estuvieran en progresión aritmética, los tres puntos serían colineales. Una prueba geométrica sencilla sería que una recta no puede intersecar un círculo en tres puntos.

Answer 2

Supongamos por contradicción que $\cos x, \cos y, \cos z$ estaban en progresión aritmética (creciente o decreciente), es decir $$\cos x - \cos y = \cos y - \cos z $$

Multiplica la ecuación por $-1$ y añadir a $i$ veces $$\sin y - \sin x = \sin z - \sin y$$ para obtener $$e^{iy}-e^{ix}=e^{iz}-e^{iy}$$ que se reordena en $$2e^{iy}=e^{iz}+e^{ix}$$ Ahora $|2e^{iy}|=2$ y $|e^{iz}+e^{ix}|\le |e^{iz}|+|e^{ix}|=2$ . Por lo tanto $e^{iz}$ y $e^{ix}$ son linealmente dependientes como vectores, y por tanto iguales. Pero ahora $2e^{iy}=2e^{ix}$ Así que $e^{iy}=e^{ix}$ . Por lo tanto $x=y=z \pmod{2\pi}$ Así que $\cos x,\cos y, \cos z$ no son estrictamente en progresión aritmética.

Answer 3

Tenemos $\sin y = \sin x + p$ y $\sin z = \sin x+2p$ donde $p$ es positivo.

Supongamos que $\cos y = \cos x - r$ y $\cos z = \cos x - 2r$ por positivo $r$ .

Entonces $\cos^2 y = 1-(\sin x+p)^2 = (\cos x - r)^2$ y $\cos^2 z = 1-(\sin x+2p)^2 = (\cos x - 2r)^2$ .

Así que $\cos^2y = 1-\sin^2 x-p^2-2p\sin x = \cos^2 x - 2r\cos x + r^2$ y $\cos^2 z = 1-\sin^2 x - 4p^2 - 4p\sin x = \cos^2 x -4r\cos x + 4r^2$ .

Entonces $-p^2-2p\sin x = -2r\cos x + r^2$ y $-4p^2 - 4p\sin x=-4r\cos x+4 r^2$ .

Eso último te pone $p^2+p\sin x = r\cos x+r^2$ .

Ahora tengo que correr.