¿La solución de la ecuación del calor?

Question

Dejemos que $u(x,t)$ sea la solución de la ecuación $$ \frac{\partial{^2u}}{\partial{x^2}}=\frac{\partial{u}}{\partial{t}}$$ que tiende a cero cuando $t\rightarrow\infty$ y tiene el valor $\cos(x)$ cuando $t=0$ .

Entonces, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es cierta?

$1.\;u=\sum^\infty_{n=1}a_n\sin(nx+b_n)e^{-nt}$ , donde $a_n,b_n$ son constantes arbitrarias.

$2.\;u=\sum^\infty_{n=1}a_n\sin(nx+b_n)e^{-n^2t}$ , donde $a_n,b_n$ son constantes arbitrarias.

$3.\;u=\sum^\infty_{n=1}a_n\cos(nx+b_n)e^{-nt}$ , donde $a_n$ no son todos ceros y $b_n=0$

$4.\;u=\sum^\infty_{n=1}a_n\cos(nx+b_n)e^{-n^2t}$ , donde $a_1\neq0,\;a_n=0 \text{ for } n>1,b_n=0 \text{ for } n\geq1$ .

Answer 1

SUGERENCIA:

En primer lugar, demostrar que ni $(1)$ ni $(3)$ satisface la EDP $u_{xx}=u_t$ .

Entonces, dejemos que $t=0$ en los casos $(2)$ y $(4)$ y ver cuál de estas soluciones propuestas satisface $u(x,0) =\cos x$ .

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ALERTA DE SPOILER: Desplácese por la zona resaltada para ver la solución.

Tenga en cuenta que $u$ satisface la EDP $u_{xx}=u_t$ . Para la solución propuesta $(1)$ tenemos $$u_{xx}=-\sum_{n=1}^{\infty}n^2a_n\sin(nx+b_n)e^{-nt}$$ mientras que $$u_{t}=-\sum_{n=1}^{\infty}na_n\sin(nx+b_n)e^{-nt}$$ Claramente, $u_{xx}\ne u_t$ para $(1)$ . Del mismo modo, la solución propuesta $(3)$ no satisface la EDP. A continuación, observamos que para la solución propuesta $(2)$ tenemos $$u(x,0)=\sum_{n=1}^{\infty}a_n\sin(nx+b_n)$$ Pero, esta serie no puede igualar $\cos x$ para la arbitrariedad $a_n$ y $b_n$ . Sin embargo, la solución propuesta $(4)$ satisface la EDP y la condición inicial. Por lo tanto, ¡es la solución del problema!