Demostrar que $2 < e < 4$ usando la parte superior e inferior de las sumas de Riemann y la definición de $\ln{x}$

Question

Demostrar que $2 < e < 4$ usando la parte superior e inferior de las sumas de Riemann y la definición de $\ln{x}$

Creo que entiendo el concepto de lo que tengo que hacer, pero estoy teniendo algunos problemas para la implementación de una solución. Supongo que esto sería equivalente a mostrar que la $\ln(2) < 1 < \ln(4)$ desde el $\ln$ función es creciente.

Lo que no estoy seguro acerca de cómo puedo utilizar la definición de $\ln(x)$ en la suma de Riemann. He intentado esto:

$$\lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{n}\int_1^{\frac{k}{n}} \frac{1}{t}dt$$

Yo no estaba seguro de cómo comprobar el valor en cada punto con el fin de demostrar mi desigualdades. Cómo se supone que voy a estar haciendo esto?

Answer 1

Primero vamos a mostrar que $\ln 2 \lt 1$. Tenemos $\ln 2=\int_1^2\frac{dt}{t}$.

Dividir el intervalo de $1$ $2$a $1$ part. El superior de la suma de Riemann es el ancho del intervalo, el valor de la función $\frac{1}{t}$$t=1$. Esta parte superior de Riemann suma es $1$, y es claramente más grande que el integral.

Ahora vamos a mostrar que $\ln 4 \gt 1$. Tenemos $\ln 4=\int_1^4\frac{dt}{t}$. Dividir el intervalo de $1$ $4$a $3$ a partes iguales, y encontrar los correspondientes inferior de la suma de Riemann. El mínimo de $\frac{1}{t}$ en la primera parte es $\frac{1}{2}$. Para las otras dos partes, los mínimos se $\frac{1}{3}$$\frac{1}{4}$. Para que la parte inferior de Riemann suma es $\ge \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}$. Esto ya es $\gt 1$, por lo que la integral es $\gt 1$.

Alternativamente podríamos tenga en cuenta que $\ln 4=2\ln 2$. Entonces podemos dividir el intervalo de $1$ $2$a $1$ parte, y tenga en cuenta que nuestro valor de la función es $\frac{1}{2}$ en el extremo derecho, y $\frac{1}{t}$ está disminuyendo. Para que la parte inferior de Riemann suma es $\frac{1}{2}$, y por lo tanto $\ln 2 \gt \frac{1}{2}$, lo $2\ln 2 \gt 1$. Pero esto no es muy en el espíritu del juego, ya que hemos utilizado una propiedad de $\ln$, es decir,$\ln 4=2\ln 2$. Este primero tendría que ser establecida a partir de la definición de $\ln$ como una integral.

Comentario: Nos quedamos un poco casual acerca de la conclusión de que la integral de $1$ $2$es menos de $1$. En principio sólo nos mostró que es $\le 1$. Si eres muy quisquilloso, puede dividir el intervalo de $[1,2]$ en dos partes iguales. A continuación, la parte superior de la suma es $\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1}+\frac{1}{3/2}\right)\lt 1$.

De los cálculos anteriores sólo hará pleno sentido si uno dibuja una imagen de $y=\frac{1}{t}$, e identifica visualmente la parte superior e inferior de las sumas mencionadas. Todos ellos son el área de un rectángulo, o la suma de las áreas de un pequeño número de rectángulos.

Answer 2

Volver a escribir como $\ln 2 -1 < 0 <2\ln 2 -1 $. A continuación, utilice (de aquí) $$ \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n(4n^2-1)} = \ln 2 -1 \etiqueta{1} $$ y $$ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(4n^2-1)} = 2\ln 2 -1 \etiqueta{2} $$

para obtener $\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n(4n^2-1)} <0<\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(4n^2-1)}$. Es fácil ver que $(1)$ es cierto, ya que la $$ \begin{eqnarray} \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n(4n^2-1)}&=&\sum_{n=1}^\infty \underbrace{\frac{2(\pm 1)^n}{2n}}_{ \underbrace{\ln 2}_{\color{red}{\int_1^2 dt/t}}} - \underbrace{\frac{(\pm 1)^n}{2n+1}}_{1-\pi/4} - \underbrace{\frac{(\pm 1)^n}{2n-1}}_{\pi/4}=\ln 2 -1.\\ \end{eqnarray} $$ Aquí su representación integral muestra ($\color{red}{\text{implicitly}}$).

Para $(2)$, es obvio que converge (a prueba de comparación) y que es positivo (de verificación). Por lo tanto, $(1)$ también converge absolutamente.

Answer 3

Tenemos que

$$\log x =\int_1^x \frac{dt}{t}$$

Desde $y = \dfrac 1 x $ es striclty la disminución es claro que

$$\frac{1}{x+1}\cdot (x+1-x)< \int_x^{x+1} \frac{dt} t<\frac{1}{x}\cdot (x+1-x)$$

$$\frac{1}{x+1}< \int_x^{x+1} \frac{dt} t<\frac{1}{x}$$

Este es

$$\frac{1}{x+1}< \log (x+1)-\log x<\frac{1}{x}$$

$$\frac{1}{{x + 1}} < \log \left( {\frac{{x + 1}}{x}} \right) < \frac{1}{x}$$

Ahora vamos a $x=1$.

$$\frac{1}{2} < \log 2 < 1$$

Esto le da

$$\log 2 < 1 < 2\log 2 \Rightarrow \exp \log 2 < \exp 1 < \exp 2\log 2 \Rightarrow 2 < e < 4$$

como se desee.

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Alernative:

Por definición, los que tenemos que

$$\log e = \int_1^e \frac {dt}{t} =1$$

Es decir, $e$ es este número único.

Tenga en cuenta que dado que el logaritmo es creciente en todo su dominio,

$$2<e<4$$ es equivalente a

$$\log 2<1<2 \log 2$$

Así que todos los que tenemos que demostrar es que el $$\frac 1 2 < \log 2 < 1$$

Pero esto es trivial si usted sabe que para $x >0$

$$\frac{x}{x+1}<\log (x+1)<x$$

Esto significa que, para $x=1$

$$\frac{1}{2}<\log 2<1$$

así que hemos terminado.