Homeomorphisms son los mapas que conservar todos los topológico propiedades: desde un punto de vista estructural, homeomórficos espacios bien podría ser idénticos, aunque pueden tener muy diferentes conjuntos subyacentes, y si es metrizable, pueden llevar muy diferentes (pero equivalente) métricas. Isometrías son el análogo para espacios métricos, espacios topológicos la realización de una métrica específica: se conservan todas las métricas de propiedades, y por supuesto los que se incluyen las propiedades topológicas. Por lo tanto, todas las isometrías son homeomorphisms, pero el recíproco es falso.
Considerar la métrica espacios de $\langle X,d_X\rangle$ $\langle Y,d_Y\rangle$ define de la siguiente manera: $X=\Bbb N,Y=\Bbb Z$, $$d_X(m,n)=\begin{cases}0,&\text{if }m=n\\1,&\text{if }m\ne n\;,\end{cases}$$ for all $m,n\in X$, and $$d_Y(m,n)=\begin{cases}0,&\text{if }m=n\\1,&\text{if }m\ne n\end{cases}$$ for all $m,n\in S$. It's easy to check that $d_X$ and $d_Y$ are metrics on $X$ and $$ Y, respectivamente.
Claramente estos no son los mismo espacio: se basan en diferentes conjuntos. Sin embargo, si $f:X\to Y$ es cualquier bijection1 de ningún tipo, a continuación, $f$ es una isometría entre el $X$ y $Y$. $\langle X,d_X\rangle$ y $\langle Y,d_Y\rangle$ son estructuralmente idéntica a la métrica de los espacios: si $P$ es cualquier propiedad de la métrica de los espacios de $-$ no sólo de metrizable espacios, pero de métrica espacios con una métrica específica $-$ entonces $X$ $Y$ ambos tienen $P$, o ninguno de ellos ha $P$. No hay ninguna característica de la estructura de métrica espacios que los distingue.
Lo que acabo de decir acerca de la $X$ $Y$ es cierto isométrica espacios en general: no hay ninguna característica de la estructura de métrica espacios que los distingue. Considerado como métrica espacios, son estructuralmente idénticas, aunque pueden tener diferentes conjuntos subyacentes.
Isométrica espacios pueden incluso tener la misma base pero con diferentes métricas. Considere los dos siguientes métricas en $\Bbb N=\{0,1,2,\dots\}$. Para cualquier $m,n\in\Bbb N$,
$$d_0(m,n)=\begin{cases}
0,&\text{if }m=n\\\\
\left|\frac1m-\frac1n\right|,&\text{if }0\ne m\ne n\ne 0\\\\
\frac1m,&\text{if }n=0<m\\\\
\frac1n,&\text{if }m=0<n\;,
\end{casos}$$
y
$$d_1(m,n)=\begin{cases}
0,&\text{if }m=n\\\\
\left|\frac1m-\frac1n\right|,&\text{if }m\ne n\text{ and }m,n>1\\\\
1-\frac1m,&\text{if }n=0\text{ and }m>1\\\\
1-\frac1n,&\text{if }m=0\text{ and }n>1\\\\
\frac1m,&\text{if }n=1\ne m\\\\
\frac1n,&\text{if }m=1\ne n\;.
\end{casos}$$
Es un buen ejercicio para demostrar que $$f:\Bbb N\to\Bbb N:n\mapsto\begin{cases}n,&\text{if }n>1\\1,&\text{if }n=0\\0,&\text{if }n=1\end{cases}$$ is an isometry between $\langle\Bbb N,d_0\rangle$ and $\langle\Bbb N,d_1\rangle$. (HINT: Both spaces are isometric to the space $\{0\}\la copa\left\{\frac1n:n\in\Bbb Z^+\right\}$ with the usual metric.) Yet these are clearly not the same space: metric $d_0$ makes $0$ a limit point of the other points, but metric $d_1$ makes $0$ un punto aislado.
No sé de ningún método general para encontrar una isometría entre isométrica espacios; si usted puede reconocer dos espacios como isométrica, usted probablemente ya tiene una buena idea de lo que es una isometría entre ellos debe ser similar.
1 Si desea que un determinado bijection, $$f(n)=\begin{cases}0,&\text{if }n=0\\\\\frac{n}2,&\text{if }n>0\text{ and }n\text{ is even}\\\\-\frac{n+1}2,&\text{if }n\text{ is odd}\end{cases}$$ hace el trabajo.
