considere la posibilidad de la explosión del avión en un punto. Vamos a $E$ el divisor excepcional. Sabemos que $(E,E)=-1$. Que es la geométrica, razón por la cual la auto-intersección de $E$ es $-1$? En general, ¿qué significa geométricamente, que es un divisor negativos en el auto-intersección o que el "derecho" número de divisores que da lugar a la negativa de la intersección?
gracias
Si usted toma una línea (isomorfo a $\mathbb P^1$) en $\mathbb P^2$ su auto intersección es de $1$. Esta es una manifestación del hecho de que si usted mover ligeramente, el impasible copia se cruzará con el movido copia en $1$ punto.Bueno que decir, voy a hacer lo mismo con el divisor excepcional de $E$ en el blow-up. Vamos a ver: voy a mover ligeramente $E$ y la trasladó copia se cruzará con la copia fija en...-1 puntos?! Pero esto es una tontería! Sí, lo es: la manera de salir de este absurdo es darse cuenta de que usted no se puede mover $E$ ! . En poco más de términos técnicos, la normal paquete de $E$ en la cámara de avión grado (-1) y esto demuestra que no se puede mover.Así que una intuición podría ser: negativo auto-intersección= rigidez.
Otra intuición podría ser que la negativa del uno mismo-intersección de los olores de blow-up. Un resultado básico en esa dirección es Castelnuevo del criterio: si $S$ es un proyectiva superficie que contiene una curva de $E$ isomorfo a $\mathbb P^1$ de auto-intersección -1, entonces $E$ puede ser arrastrado a un punto $e$. Esto significa que existe una superficie de $S_0$ que contiene a un punto $e$, que cuando soplado en $S_0$se convertirá en la curva de $E$ en $S$. Grauert y otros, ha demostrado ser muy profunda generalizaciones de Castelnuevo del teorema.
Sólo voy a añadir un comentario a Georges (excelente) respuesta.
El avión real $\mathbb R^2$ tiene dos libremente sustituibles orientaciones, pero el plano complejo de $\mathbb C$ tiene una canónico (como un verdadero espacio vectorial). Esencialmente, cuando se eligió $i$ e no $-i$ como su favorito raíz de $-1$, se eligió al mismo tiempo, una orientación para el avión real. Como consecuencia, cuando dos (complejo) las líneas se cruzan en el (complejo) plano, todas las orientaciones son compatibles y la intersección es positivo. Esto es más generalmente siempre es el caso cuando dos complejos colectores de intersección. (Mi Geométricas Algebrish no es tan bueno, así que no voy a tratar de traducir de esta declaración para variedades algebraicas, pero estoy seguro de una simple traducción existe).
Ahora, cuando Georges decir: "la manera de salir de este absurdo es darse cuenta de que usted no se puede mover E", que es simplemente admitir que algebraists son impotentes. Soy un topologist y me puede mover E. Pero yo sólo obtener dos superficies reales $S_1 = E$ y $S_2 = E_{\text{ligeramente movido}}$ en un verdadero 4-colector $W$ y un total de intersección número de -1. Eso significa que al menos uno de los puntos de intersección de $x$ viene con un signo negativo: armar una orientación directa base de $T_x S_1$ y directa base de $T_x S_2$ da una indirecta base de $T_x W$. Y los hechos que he dicho anteriormente acerca de las intersecciones de los complejos submanifolds demostrar que la deformación acabo de hacer no tiene absolutamente ninguna contraparte en el complejo/algebraicas mundo.
Permítanme complementar PseudoNeo excelente respuesta por el hecho de escribir una moción de $E$ y demostrando que se cruza a sí misma con la multiplicidad de $-1$. Recordemos que $\mathbb{C}^2$ volado en $(0,0)$ puede ser pensado como el espacio de los pares ordenados de $(z, \ell)$ donde $z$ es un punto de $\mathbb{C}^2$ y $\ell$ es una línea a través de a $z$ y a través de $(0,0)$. La excepcional fibra de $E$ es el conjunto de pares de la forma $((0,0),\ \ell)$ donde $\ell$ puede ser cualquier línea a través de $(0,0)$.
Con el fin de perturbar esto, quiero mover a un conjunto de la forma $\{ \zeta(\ell), \ell \}$, donde $\zeta$ es alguna función continua que, a una línea que pasa por el origen en $\mathbb{C}^2$, se le asigna un punto en esa línea. Escribiremos $\ell$ en coordenadas homogéneas como $(x : y)$. Así que tenemos una función continua $\zeta$ que, dado $(x, y) \in \mathbb{C}^2 \setminus \{ (0,0) \}$, elige algún punto de la línea a través de $(x,y)$, de modo que $\zeta(x, y) = \zeta(\lambda x, \lambda y)$ para cualquier valor distinto de cero $\lambda$.
Algunos experimentos se produce $$\zeta(x,y) := \left( \frac{x \overline{x}}{|x|^2+|y|^2},\ \frac{y \overline{x}}{|x|^2+|y|^2} \right).$$ Deje de $E_{movido}$ el conjunto de puntos de $\left( \zeta(x,y), (x:y) \right)$. (Si desea dite a ti mismo que $E_{movido}$ es homotópica a $E$, considere la posibilidad de la homotopy $\left( t\cdot \zeta(x,y), (x:y) \right)$, $t$ va desde $1$ $0$.)
Ahora $E$ cruza $E_{movido}$ cuando $\zeta(x,y)=(0,0)$, lo que sucede cuando $(x:y) = (0:1)$. Cerca de $\left( (0,0), (0:1) \right)$, locales, complejos coordenadas son $u$ y $v$, correspondiente al punto $\left( (uv,u), (v:1) \right)$ en el golpe. En este gráfico, $E$ es dada por $u=0$ y $E_{movido}$ está dada por $$u = \frac{\overline{v}}{1+|v|^2}.$$
La intersección se lleva a cabo en $(u,v) = (0,0)$. Escrito $u = u_1 + i u_2$ y $v = v_1 + i v_2$, el Jacobiano de $v \mapsto \overline{v}/(1+|v|^2)$ es $\left( \begin{smallmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{smallmatrix} \right)$. El hecho de que esto ha determinante de $-1$ indica que la intersección con $u=0$ cuenta con el signo $-1$.
Una manera de pensar acerca de esto es que $E^2=-1$ es necesaria para la consistencia de cualquier razonable intersección de la teoría de divisores en el golpe hasta que desciende a la lineal de clases de equivalencia. Considerar el estallido de $\pi:X\a \mathbf P^2$ del avión en un punto $P$. Calculamos el auto intersección de $\pi^*O(1)\cdot \pi^*O(1)$ de dos maneras. Primer representan $S(1)$ por líneas $l_1$ y $l_2$ en el avión, que no pasan de $P$. Entonces $\pi^*O(1)$ es representado por el inverso de imágenes de estas líneas en el golpe de $X$, que son su estricta transforma $\tilde l_1$ y $\tilde l_2$. Debido a que $\pi$ es un isomorfismo de distancia del divisor excepcional, la disired auto intersección es de $\tilde l_1\cdot \tilde l_2=l_1\cdot l_2=1$. Por otro lado, si nos representan $S(1)$ por líneas $l_1'$ y $l_2'$ que pasa por el centro del golpe hasta $P$, nos encontramos con que $\pi^*O(1)$ es representado por el inverso de imágenes de $\tilde l_1'+E$ y $\tilde l_2'+E$, donde de nuevo una tilde indica el estricto transformar. Así tenemos $$ 1=(\tilde l_1'+E)\cdot(\tilde l_2'+E)=0+1+1+E^2, $$ a partir de los cuales $E^2=-1$ de la siguiente manera.
Una curva de $\gamma$ que se ha auto-intersección $n$ significa que la superficie en la que la curva está incrustado admite un campo de vectores que está en todas partes, transversal o de fuga en $\gamma$. Las singularidades del campo de vectores que están mintiendo de la curva de la auto-puntos de intersección de $\gamma$ y la suma de los índices de estas singularidades es la auto-intersección número $n$ de $\gamma$.
Por lo tanto, si una excepcional divisor $E$ tener auto-intersección $-1$, entonces esto significa que es posible colocar una transversal campo de vectores en $E$, con una silla de montar tipo de singularidad en un punto y que este vector de campo se extiende en una válida campo de vector de la incrustación de objetos en el espacio. Si el divisor de flujo a lo largo del campo vectorial por un pequeño tiempo, esto se traduce en una copia de el divisor ligeramente alejado de la original del divisor. En el punto donde el campo vectorial se desvanece la copia y el original divisor cruza mostrando que este punto es un punto de intersección.
Una línea proyectiva del plano proyectivo se ha auto-intersección $+1$ desde el plano proyectivo admite una rotación del vector de campo con el centro puesto en la línea. Pero, dicho esto, también admite un campo de vectores con dos centros de rotación y uno sadle punto. Si el punto de silla se coloca en la línea que significaría que la línea en este caso se ha auto-intersección $-1$. Esto parece estar de acuerdo con la posibilidad para golpe hacia abajo una línea de la proyectiva del plano resultante en una esfera? Pero, obviamente, hay más a la historia de aquí y tengo tal vez (seguramente) entendido mal algunas cosas básicas.
El caso de la intersección de un colector en la toplogical sentido, que es el valor intrínseco de la auto-intersección sin considerar la inclusión es algo más sencillo. A continuación, sólo es posible el flujo en el colector de dentro de sí mismo. Luego, por supuesto, cada punto puede decirse que es trivialmente puntos de intersección. Así que en lugar de ello tenemos en cuenta los puntos que se intersectan en un orden más alto sentido de la auto-puntos de intersección. Esto se traduce inmediatamente en el sentido de que las singularidades de un vector tangente campo son auto-puntos de intersección y la topológico de auto-intersección número de un colector es el índice de sus campos vectoriales.
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
