Mostrar que $x^2 + y^2 + z^2 \ge 35$ si $x+3y+5z \ge 35.$

Question

Mostrar que $x^2 + y^2 + z^2 \ge 35$ si $x+3y+5z \ge 35.$

He probado de todo (prueba por contradicción, etc.) pero me parece que no puede conseguir. El libro no dar ningún tipo de restricciones de ningún tipo. Todas las sugerencias se agradece. Gracias.

Answer 1

Usted tiene una solución elegante el uso de Cauchy Schwarz ya en los comentarios. De otra forma, el uso de AM-GM:

$$x^2+1^2 \geqslant 2x, \quad y^2+3^2 \geqslant 6y, \quad z^2+5^2 \geqslant 10 z$$ $$\implies x^2+y^2+z^2+(1+9+25) \geqslant 2(x+3y+5z)$$ $$\implies x^2+y^2+z^2 \geqslant 35$$

Answer 2

Sugiero una solución para los que saben de multiplicador de Lagrange.

Deje $f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2$, e $g(x,y,z)=x+3y+5z=a\ge 35$. Entonces \begin{align} \nabla f(x,y,z)&=(2x,2y,2z)\\ \nabla g(x,y,z)&=(1,3,5)\ne \mathbf{0} \end{align} Deje $\lambda$ ser un número real tal que $\nabla f = \lambda \nabla g$, luego $$ 2x=\lambda\quad 2y=3\lambda\quad 2z=5\lambda. $$ Así $$ x+3y+5z=\frac{\lambda}{2}+\frac{9\lambda}{2}+\frac{25\lambda}{2}=\frac{35\lambda}{2}, $$ por lo $\lambda=\frac{2a}{35}$. Por lo tanto, \begin{align} x^2+y^2+z^2&=\frac{\lambda^2}{4}+\frac{9\lambda^2}{4}+\frac{25\lambda^2}{4}\\ &= \frac{35}{4}\cdot \lambda^2\\ &=\frac{35}{4}\cdot \frac{4a^2}{35^2}\\ &=\frac{a^2}{35}\\ &\ge 35. \end{align}