Punto fijo gaussiano Transformación de Fourier

Question

Sabemos que $ \text {exp}(- \alpha |x|^2)$ es un punto fijo para la transformación unitaria de Fourier si $ \text {Re } \alpha > 0$ .

Conozco muchos argumentos para demostrarlo (integración y diferenciación de contornos).

¿Hay alguna manera no elegante de explotar el hecho de que el Gaussiano es rotacionalmente simétrico? Un boceto estaría bien.

Answer 1

Aquí hay un argumento diferente. Tomemos una variable aleatoria gaussiana de media cero $X$ . Sabemos que la suma de $n$ copias de $X$ disminuido por un factor de $ \sqrt {n}$ se distribuye de la misma manera que $X$ . Por otro lado, por el argumento de la función característica (que puede ser usado para probar el teorema del límite central) sabemos que la transformación de Fourier de $(X_1+ \cdots +X_n)/ \sqrt {n}$ converge en $ \exp (- \sigma ^2x^2/2)$ .

Editar: una forma aún más simple. Otra vez toma $X$ para ser un gaussiano de media cero. Sabemos que $(X+X)/ \sqrt {2}$ está equidistribuido con $X$ . Inmediatamente deducimos que todos los acumuladores de orden superior son nulos, y como el segundo acumulador es la varianza, obtenemos que la transformación de Fourier es $ \exp (- \sigma ^2x^2/2)$ .