$\varnothing$ en la categoría de conjuntos

Question

Wikipedia dice que el $\varnothing$ es el objeto inicial en la categoría de conjuntos. Sin embargo, esto parece ser falsa.

Cualquier función de $F$ dominio $\varnothing$ es necesariamente vacía, es decir,$F=\varnothing$. Así, en la categoría de conjuntos, no es sólo uno de los morfismos cuyo origen es $\varnothing$, es decir, la función vacía. Desde el axioma de la categoría requiere que $\varnothing$ tiene una identidad de morfismos, la función vacía es su identidad de morfismos. Supongamos que por el bien de la contradicción que hay morfismos $g: \varnothing \longrightarrow A$ donde $A\not= \varnothing$. A continuación, $g$ es la función vacía. A continuación, $g$ es una de morfismos con dos objetivos, a saber, $\varnothing$$A$, contradiciendo la categoría de axiomas.

Hice un error en alguna parte?

Answer 1

Todo lo que has dicho es correcto. El único error es la frase final, "$g$ es una de morfismos con dos objetivos". Recuerde que una función de conjuntos es de un determinado dominio, codominio, y el subconjunto de su producto. Más importante para nosotros aquí es que el codominio se especifica demasiado. Por ejemplo, considere dos mapas de $h\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$$x\mapsto x^2$, e $k\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}^{\geq 0}$ también dado por $x\mapsto x^2.$ Cuando se ve como subconjuntos de a $\mathbb{R}\times\mathbb{R}^{\geq0}$ ($h$ es un subconjunto de a $\mathbb{R}\times\mathbb{R}$, pero su inclusión a través de los factores de $\mathbb{R}\times\mathbb{R}^{\geq0}$), $h$ y $k$ son iguales. Sin embargo, cuando se veía como funciones son distintas, debido a que tienen diferentes codomains.

Del mismo modo su función de $g\colon\varnothing\to A$ es un subconjunto (el vacío subconjunto) de $\varnothing\times A$, junto con el dominio especificado $\varnothing$, y se especifica codominio $A$. Es una de morfismos $\varnothing \to A$, no $\varnothing\to\varnothing.$ Hay otro mapa de $\varnothing\to\varnothing$, pero no es igual a $g$, desde su codominio no coinciden, aunque $g\subseteq A\times\varnothing=\varnothing$ $1_\varnothing\subset\varnothing\times\varnothing=\varnothing$ ambos son simplemente el conjunto vacío, por lo tanto la igualdad como conjuntos. El mapa vacío $\varnothing\to\varnothing$, sin embargo es igual a la identidad en $\varnothing,$ como usted ha señalado.

Answer 2

Categórica fundaciones son fundamentalmente diferentes de conjunto teórico de fundaciones (si me permiten el juego de palabras). Específicamente, mientras que en el conjunto teórico de fundaciones, cada objeto es un conjunto, en una categoría teórica fundaciones, existen diferentes clases de fundamentos de los objetos, en particular, los objetos y morfismos.

Todos los morfismos ha designado un dominio y codominio, por lo que el hecho de que en $\mathbf{Set}$ el vacío de la función es el conjunto vacío es en gran medida irrelevante; los morfismos de $\emptyset$ $\{a\}$es diferente a la de morfismos de $\emptyset$ $\{0,1\}$(a pesar de que constan de los mismos conjuntos de pares ordenados), ya que tienen diferentes codomains.

Lo mismo se presenta en muchos otros contextos. Por ejemplo, la incorporación de la $\{a\}$ a $\{a,b\}$ no es el mismo categórica objeto como el mapa de identidad de $\{a\}$ a sí mismo.

A la pregunta de cuándo dos morfismos son iguales, es central a la categoría de teoría. Cada diagrama de chase es esencialmente un argumento que dos composiciones son en realidad diferentes representaciones de la misma morfismos. Pero el enfoque es realmente diferente de la del conjunto teórico de la configuración.

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Otra forma de pensar acerca de esto es que en un sistema teórico de las fundaciones, es el dominio y rango de una función, que son los más importantes. El codominio es más o menos fijadas por conveniencia, y no hay nada que impida una función de tener muchas posibles codomains. En la categoría de teoría, por el contrario, es el dominio y el codominio que son primitivas.

Answer 3

La situación es muy simple en realidad y ya la mitad-adivinó usted mismo.

Una de morfismos $A \to B$ de la categoría $Set$ es simplemente definida como la triple a $<A,f,B>$ donde f es un subconjunto de a $A \times B$ total-propiedades funcionales (a cada elemento de a $A$ corresponde exactamente a una de las $B$). Si se omite el total de las propiedades funcionales, entonces usted definir la categoría de $Rel$ de conjuntos y relaciones. Estos son sólo definiciones. Usted puede comprobar fácilmente que estas estructuras son, de hecho, las categorías de acuerdo a la definición de la categoría. Usted puede llamar a la morfismos de $Set$ funciones si te gusta y probablemente nadie va a disparar, pero ten en cuenta que son diferentes, pero relacionadas- las cosas de las funciones que has aprendido antes

Por lo $\varnothing \to A$ es realmente $<\varnothing,\varnothing,A>$ $\varnothing \to B$ es realmente $<\varnothing,\varnothing,B>$ y por lo tanto puede ser diferente.

Categoría de la teoría y, generalmente, se basa en algunos de teoría de conjuntos. Las categorías son sólo otro tipo de estructuras matemáticas como grupos, anillos, ect. Se acaba de pasar a ser más general.

Usted puede encontrar conjunto ligeramente diferente de las teorías en el mercado. Tarski-Grothendieck (TG) de la teoría de conjuntos es la que le da la mayoría de la explosión para su dólar, en mi opinión. Se utiliza con éxito en el Mizar proyecto para construir (es decir. expresar y demostrar) todo el edificio de matemáticas de un modo formal y equipo-marcada forma. ¿Quién puede pedir más?

TG teoría de conjuntos tiene básicamente el habitual de los axiomas de otro conjunto de teorías (ZFC, NBG) con la adición de la TG axioma reclamando (aproximadamente) de que cualquier colección, usted puede venir para arriba con, está contenida en una colección más grande llamado universo.

Otros fundamentos de las matemáticas son la alternativa, todavía experimentales y ciertamente no es la corriente principal. No quiero molestar con ellos como un principiante en la categoría de teoría.