Es $x^n+px+p^2$ irreductible en $\mathbb{Z}[x]$?

Question

Si $p\in\mathbb{N}$ es un número primo, es $x^n+px+p^2$ irreductible en $\mathbb{Z}[x]$?

He demostrado que cualquier no-unidad de factor en $\mathbb{Z}[x]$ debe tener grado mínimo de 2.

Eisenstein, el criterio no es, pero tal vez podamos hacer algunos pequeños cambios para que lo hace? (E. g. un lineal de sustitución, como con cyclotomic polinomios??)

O podríamos empezar de cero, asumiendo $x^n+px+p^2 = (b_kx^k+...+b_0)(c_{n-k}x^{n-k}+...+c_0)$, y tratando de conseguir que las condiciones en el $b$'s y $c$'s de la que se da una contradicción. Tengo que $b_0=\pm p$, $c_0=\pm p$, $b_1=0$, $c_1=\pm 1$, y $c_2=\pm b_2$, pero no puedo ver cómo esto ayuda!

Una sugerencia dada en la pregunta dice " Considerar las facultades de $p$ dividiendo los coeficientes.' Sugiere esto alguna variante de Eisenstein, o de una manera inusual de la aplicación de Eisenstein?

Gracias por cualquier ayuda con esto!

Answer 1

Como escribir $$x^n+px+p^2=(b_kx^k+\ldots+b_0)(c_{n-k}x^{n-k}+\ldots+c_0) $$

En primer lugar, podemos suponer $b_k=c_{n-k}=1$, e $k>0,n-k>0$. A continuación,$\mod p$, dará $x^n=polynomial\times polyonoimal$$\mathbb{Z}/p[x]$, esto obliga a que $p\mid b_i,p\mid c_j$$i\neq k,j\neq n-k$. Ahora consideran que el término de la licenciatura en uno de los originales del polinomio, obtenemos $px=(b_0c_1+c_0b_1)x$, esto le da una contradicción si $n-k>1,k>1$.

Ahora, si en el caso $$ x^n+px+p^2=(x^{n-1}+b_{n-2}x^{n-2}+\ldots+b_0)(x+c_0) $$ Tenemos $c_0=p,-p$, lo $p$ o $-p$ es una raíz de $x^n+px+p^2$, pero esto no es cierto.