Conjunto de nivel de una función armónica

Question

Deje $u$ ser un no constante con un valor real de armónicos función definida en el abierto de la unidad de disco $D$. Supongamos que $\Gamma\subset D$ es un buen conectados curva tal que $u=0$$\Gamma$. Hay un universal límite superior para la longitud de $\Gamma$?

Comentario: por la Hayman-Wu teorema, la respuesta es sí si $u$ es la parte real de un inyectiva holomorphic función; de hecho, en este caso no es un universal límite superior para la longitud de todo el conjunto de nivel en $D$. Para general armónica de funciones, conjuntos de nivel puede tener arbitrariamente gran longitud, por ejemplo,$\Re z^n$.

Answer 1

Puede ser arbitrariamente feo. De hecho, aproximado $1/z$ por un polinomio $p$ en el dominio $K\subset\mathbb D$ cuyo complemento es conectado, pero va de $0$ a de la límite a lo largo de un largo y sinuoso camino estrecho. A continuación, cada componente del conjunto $\mbox{Re}p=A$ con un gran $A$ tendrá que escapar del círculo a lo largo de esencialmente el mismo camino y hay sólo un número finito $A$ para los que tenemos puntos de ramificación en estos conjuntos ($p'$ tiene un número finito de raíces).