En los números enteros, que sigue casi inmediatamente de la división de teorema y el hecho de que $a | x,y \implies a | ux + vy$ cualquier $u, v \in \mathbb{Z}$ que el mínimo común múltiplo de a $a$ $b$ divide cualquier otro múltiplo común.
En contraste, demostrando $e|a,b \implies e|gcd(a,b)$ parece ser la más difícil. En Primaria la Teoría de los números por Jones & Jones, no se intenta demostrar este hecho, hasta el establecimiento de la identidad de Bezout. Esta página de la Wikipedia tiene una prueba sin la identidad de Bezout, pero es complicado para mis ojos.
Traté de mi mano en ella, y lo que tengo parece que no hay más limpio:
Proposición: Si $e | a,b$,$e | gcd(a,b)$.
Prueba: Vamos A $d = gcd(a,b)$. Entonces si $e \nmid d$, por el teorema de la división de que hay algo de $q$ $c$ tal que $d = qe + c$$0 < c < r$.
Tenemos $a = k_1 d$$b = k_2 d$, por lo que sustituyendo obtenemos $a = k_1 (qe + c)$$b = k_2 (qe + c)$. Desde $e$ divide tanto a a$a$$b$, se debe dividir ambos $k_1 c$$k_2 c$. Esto implica que tanto $k_1 c$ $k_2 c$ son comunes múltiplos de $c$$r$.
Ahora vamos a $l = lcm(r, c)$. $l$ divide tanto a a$k_1 c$$k_2 c$. Desde $l = \phi c$ algunos $\phi$,$\phi | k_1, k_2$, lo $d \phi | a, b$.
Pero debemos tener $\phi > 1$ lo contrario $l = c$, lo que implica la $r | c$, lo que podría no ser el caso, ya que $c < r$. Por lo $d \phi$ es un divisor común mayor que $d$, lo cual es una contradicción. $\Box$
Pregunta: ¿hay un limpiador de prueba que me falta, o es esta aparentemente proposición elemental simplemente no es muy fácil de probar sin el uso de la identidad de Bezout?
