Sé que se puede encontrar una base para el espacio columna de una matriz $A$ mediante la reducción de la matriz a la reducción escalonada $J$. Las columnas de $A$ correspondiente a las columnas linealmente independientes de a $J$ luego forman una base para $Col(A)$, debido a que dependencia lineal se conserva bajo elementales por filas. No puedo entender por qué esto es cierto, sin embargo, y de una búsqueda en google devuelve nada, así que estoy seguro de que es simple. Alguien puede darme una prueba?
Respuestas
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Vamos a empezar a salir de la norma base $e_1,..,e_n$. Deje $a_1,..,a_k$ ser los vectores columna de a $A$.
Compruebe que el paso en las filas $r_i':=r_i+\lambda\,r_j$ corresponde a la base de transformación de $e_j':=e_j-\lambda\,e_i$, es decir, para un vector $v$ hemos $$v=\sum_i\alpha_ie_i=\sum_i\alpha_i'e_i'$$ donde la fila de la transformación se realiza por el vector de coordenadas $\pmatrix{\alpha_1\\ \alpha_2\\ \vdots} \leadsto \pmatrix{\alpha_1'\\ \alpha_2'\\ \vdots}$.
Así, en esta interpretación de los vectores columna todos "estancia" en el que están en el $n$ dimensiones del espacio, pero nosotros nos mantenemos en el cambio de la base. Por supuesto, los vectores de estancia (en)dependiente. Lo importante aquí es que tenemos otra base al aplicar (la inversa de) cada paso de la fila de transformación.
jmans
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Aquí es una forma geométrica de mirarlo (no es una rigurosa prueba, pero le da un buen camino a la comprensión, no en forma algebraica, por qué es verdadera): el sentido geométrico de La determinante de una matriz es que es el algebraicas volumen del paralelepípedo generado por las columnas (o filas) de la matriz (algebraicas volumen significa que el volumen puede ser negativo, dependiendo de la orientación de la forma de paralelepípedo). Por el volumen que aquí nos referimos $n$-dimensiones de volumen. Por lo tanto, el factor determinante es $0$ si el volumen es $0$ fib de las columnas lapso de un degenerado paralelepípedo iff las columnas (filas) son dependientes.
Ahora, fila operaciones tienen efectos claros sobre la forma de paralelepípedo. Intercambiando filas sólo se invierte la orientación. No-cero de la multiplicación escalar alarga o acorta el parallelepied en una dirección. La adición de una fila a otra, ocurre en dos dimensiones sección de todo el espacio. Intuitivamente, todas estas operaciones no pueden convertir un degenerado parallepiped en una degenerada de uno, o viceversa. Por lo tanto, la preservación de la no desaparición de la determinante.
I'll-Be-Back
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Tome su m x n matriz de Unafila, la reducen a Una', y determinar que su rango es r. Formar un nuevo m x r de la matriz B' de la linealmente independientes columnas pivote de A'. Tenga en cuenta que el rango de B' también es r. Ahora ejecute su reducción de la fila de la secuencia hacia atrás en el B' para producir B, que se compone de la original columnas dinámicas de Una. El rango de B es también r, lo que significa que las r columnas de B son linealmente independientes.
