Tangentes a las singularidades

Question

Dado implícita una función polinómica $f$ con la singularidad en el origen. ¿Cómo puedo encontrar las tangentes a la curva en el punto?

Wikipedia dice que ignorar todos los términos excepto los que tienen menor grado. ¿Por qué es esto cierto?

Tomemos, por ejemplo, la curva de $x^3+x^4+y^3=0$. ¿Cuáles son las tangentes en el origen?

Answer 1

Considere la curva $x^3 + y^3 + x^4 = 0$. Para $(x, y)$ cerca de cero, el cuarto orden término es despreciable en comparación con la de la tercera orden de los términos, tan cerca del origen del gráfico se asemejan mucho a la de $x^3 + y^3 = 0$. Este factores como $(x+y)(x^2 - xy + y^2)$, por lo que habrá una línea tangente $x = -y$ y un par de tangente líneas con complejo de la pendiente.

Para hacer esto un poco más formal, podemos utilizar Hensel la elevación en realidad el factor de la expresión $x^3 + y^3 + x^4$

$$(x + y + \cdots)\left(x - \left[\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i\right]y + \cdots\right)\left(x - \left[\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i\right]y + \cdots\right),$$

donde cada término es una potencia de la serie. Por lo tanto, podemos ver esta curva algebraica como la unión de tres distintas analítica de curvas, cada una de las cuales tiene su propia línea tangente en el origen.

Esa es la idea, de todos modos. Si usted quiere hacer las cosas de una manera más algebraicas configuración, se convierte en un problema de álgebra conmutativa. Pero usted debe entender de esta manera la primera.

(También, para tener una idea, probablemente ayuda a comenzar considerando una curva cuya tangente en el origen real de la pendiente, de modo que usted puede mirar en realidad una imagen. Intente $x^2 - y^2 - x^4 = 0$ en lugar, por ejemplo).

Answer 2

Wikipedia es correcto: el cono tangente a la curva $C$ está dado por $x^3+y^3=0$.
Si la base es de campo algebraicamente cerrado de característica $\neq 3$ e si $j\neq 1$ es una primitiva raíz cúbica de a$1$, se compone de tres líneas de $x+y=0, x+jy=0, x+j^2y=0$, ya que el $x^3+y^3=(x+y)(x+jy)(x+j^2y)$.

Pero, ¿de dónde la Wikipedia receta?

He aquí una explicación: estamos buscando en la intersección de la $(0,0)$ de nuestra curva con la línea de $L_{ab}$ dada en forma paramétrica por $x=at, y=bt$ ($a,b$ no ambos cero).
Los valores de $t$ correspondiente a un punto de intersección $L_{ab}\cap C$ son las personas que cumplen la ecuación de $(at)^3+(at)^4+(bt)^3=0$ obtenido por la sustitución de $x=at, y=bt$ en la ecuación de $C$.
La ecuación de $t$ es así $$t^3(a^3+at+b^3)=0 \quad (MULT)$$ The result is that $t=0$ is a root of multiplicity $3$ for all values of $a,b$ except for those with $a^3+b^3=0$ for which the multiplicity of the zero root of $(MULT)$ is $4$.
Así que el decreto que las líneas de $L_{ab}$ $a^3+b^3=0$ son las tangentes a $C$ en el origen porque cortan $C$, con una mayor multiplicidad, es decir,$4$, de todas las otras líneas que sólo cortan $C$ con multiplicidad $3$.
Este cálculo es fácilmente generalizado arbitraria de las curvas a través del origen y justifica la Wikipedia de la receta.

[Puristas darás cuenta de que el de arriba es puramente algebraica: no hay límites están involucrados, y que no tenemos una topología en el campo base.
Pero suponiendo que el campo base es $\mathbb C$ con su topología métrica y el uso de límites está bien conmigo si es que ayuda en la comprensión de la situación. En matemáticas, como en el amor y la guerra todo se vale...]

Answer 3

Ver el $0=f(x,y)$ con una lupa $0=f(ε X,ε Y)=ε^3(X^3+ε X^4+Y^3)$ $X$ $Y$ siempre en el rango $[-1,1]$. Hay que ver que el mayor orden término tiene un coeficiente por el que se hace menor cuanto más cerca se mira. Así, en el primer orden de aproximación, $Y=-q^kX$, con $q\ne 1$, $q^3=1$ la tercera raíz de la unidad.

Ahora uno tratar de encontrar el siguiente orden de la aproximación, $Y=-q^kX+δ$,

$$0=X^3+ε X^4+(-q^kX+δ)^3=ε X^4+3q^{-k}X^2δ+O(δ^2)$$

que da $δ=-\tfrac13εq^k X^2$, por lo que ahora la aproximación a los términos en $ε^2$ es

$$Y=-q^k(X+\tfracε3X^2).$$

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Por supuesto, en este caso con sólo un término que involucra $y$, la solución más rápida es por calcular directamente la raíz cúbica, entonces

$$y=-q^kx\,\sqrt[3]{1+x}=-q^kx\,\left(1+\tfrac13 x-\tfrac19x^2+\tfrac{5}{81}x^3+\dots+\tbinom{1/3}{k}x^k+\dots\right)$$

Answer 4

La tangente de la curva de $x^3+x^4+y^3=0$ en el origen es $$y=-x.$$

Diferenciar ambos lados con respecto a $x$ le dará $$3x^2+4x^3+3y^2y^\prime=0.$$ Por lo tanto, si $y\not=0,$ hemos $$y^\prime=\frac{-3x^2-4x^3}{3y^2}.$$

Luego, dejando $a$ ser la pendiente de la tangente queremos, usando la regla de l'Hôpital le dará $$\begin{align}a&=\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{-3x^2+4x^3}{3y^2}\\&=\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{-6x+12x^2}{6yy^\prime}\\&=\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{-6+24x}{6y^\prime y^\prime+6yy^{\prime\prime}}\\&=\frac{-6}{6a^2}\end{align}$$ Por lo tanto, tenemos $$a=\frac{-6}{6a^2}\Rightarrow 6a^3+6=0\Rightarrow 6(a+1)\left\{\left(a-\frac 12\right)^2+\frac 34\right\}=0\Rightarrow a=-1.$$

Si usted entiende la idea de la respuesta anterior, usted será capaz de resolver preguntas similares.