Mostrar que el conjunto U es ilimitado

Question

Estoy trabajando en una práctica calificador problema:

Deje $f : \mathbb{C} → \mathbb{C}$ ser toda una función con $f(z) \ne 0$ todos los $z ∈ \mathbb{C}$. Definir U = {z ∈ C : |f(z)| < 1}. Mostrar que todos los componentes conectados de U es acotada.

Sé que $f$ es holomorphic en todos los de $\mathbb{C}$

Estoy suponiendo que tengo que usar considerar $\frac{1}{f(x)}$ desde $f(z) \ne 0$ cualquier lugar. Cualquier pensamiento sería grealy apreciado.

Answer 1

¿el máximo módulo de principio entran en juego aquí? es decir, si un componente conectado fueron delimitadas, a continuación, $\frac1{|f(z)|}$ tendría su máximo en el límite, que no puede ser el caso

Answer 2

El máximo módulo principio es, de hecho, la idea de derecho aquí. Supongamos que existe una limitada componente $V$$U=\{z: |f(z)|<1\}$. Tenga en cuenta que$|f|=1$$\partial V$.

Desde $f$ no se desvanecen en $\mathbb{C}$, $1/f$ es todo. Por otra parte, $|1/f| \equiv 1$$\partial V$, por lo que el máximo módulo de principio (que puede ser aplicado desde $V$ es limitado), obtenemos $|1/f| \leq 1$$V$. Esto contradice el hecho de que $|f|<1$ $V$...