¿Por qué es $!0 = 1$?

Question

El subfactorial función se define como: $$!n = n!\sum_{i=0}^n\dfrac {(-1)^i} {i!}$$ Tenía curiosidad y quería averiguar qué es lo $!0$ llegó a ser. Ya no podía usarlo en la suma anterior, he utilizado un método diferente por averiguar $!1$ primer y el uso de $!n = !(n-1)n-1$.

Resultó, que si se conecta en $0$ para esto, se consiguió $2$.
Esto me pareció extraño, así que utiliza una ecuación inversa, $!n = \dfrac {!(n+1) +1} {(n+1)}$ y enchufado en $2$ $!0$ y resultó correcta.
Esto aún parecía muy extraño, así que me registré en Wolfram Alpha, que dicen que $!0 = 1$

Entonces, ¿qué hice mal? Y ¿cómo se hace exactamente $!0$ a $1$?

Answer 1

Usando la definición proporcionada:$$ !1 = 1! \sum_{i=0}^1\frac{(-1)^i}{i!} = 1 \left(\frac{1}{1} + \frac{-1}{1}\right) = 0 $$Then putting this in the other recursive equation you gave:$$ !1 = !(1-1)(1) - 1 \implica 0 = !0 - 1 \implica !0 = 1 $$

Teniendo en cuenta la definición en Wikipedia:

En la combinatoria de las matemáticas, un trastorno es una permutación de los elementos de un conjunto, de tal manera que ningún elemento aparece en su posición original.

Es claro que el conjunto vacío no tiene elementos para poner en su posición anterior, de igual forma un conjunto con un solo elemento siempre se tiene que poner ese elemento en la primera posición.