Demostrar que estos 3 puntos son en línea recta

Question

$\triangle ABC$ es equilátero con un círculo $\omega$ inscrito en ella. MN es una tangente de $\omega$ y se cruza $AC$ $BC$ en puntos $M$ $N$ respectivamente. $AM_1=MC$ y $BN_1=CN$. $D,E,F$ toque el círculo. $O$ es el centro de la $\omega$$OH_1 = r$. Demostrar que $M_1N_1$ cruza el centro de la $\omega$.

He intentado añadir algunos segmentos adicionales (como se puede ver en la 2ª imagen). He creado $AR$ tal que $AR=CN \Rightarrow MN=M_1R$ $BP$ tal que $BP=MC \Rightarrow PN_1=MN$. $\triangle CMN = \triangle AM_1R = \triangle BN_1P$. Y si quiero demostrar que la $M_1R$ $N_1P$ touch $\omega$, se podría decir que es a causa de la simetría (dime si me equivoco). Eso es todo lo que he probado hasta ahora. La solución de este problema sería el equivalente a enterarse de que $M_1N_1$ divide en dos partes iguales tanto el ángulo de $\angle PN_1N$$\angle RM_1M$.

Answer 1

Puedo dibujar $M_1R$ tangente a $\omega$.

$M_1E=EM, OE=OE,E=90 \to \triangle OEM_1=\triangle OEM \\ \to \angle RM_1E =\angle NME = 2\angle OM_1E \to \angle RM_1A=\angle NMC \to \triangle ARM_1 = \triangle MNC$

$\angle EOF=360-\angle C - \angle E -\angle F = 120$, por lo que para demostrar $\angle M_1ON_1=180$ tenemos que demostrar que el $\angle EOM_1 + \angle FON_1=60$

$\angle RM_1E= \angle NME,\angle MNF= \angle PN_1F$

$\angle EMN + \angle FNM= 360-\angle FEC-\angle EFC= 240$

$\angle EOM_1 + \angle FON_1=90 - \angle OM_1E+90-\angle FN_1O = 180-\frac{\angle RM_1E+ \angle FN_1P}{2}\\=180-\frac{\angle EMN + \angle FNM}{2}=180-120=60 $

Y esto es lo que queríamos demostrar.