El largo de la línea es mucho más de $\mathbb{R}$, y, de hecho, muchas cadenas tienen esta propiedad. Por lo tanto, ya que las métricas son generalmente supone ser un valor real, esto puede ser entendido como una suposición de que punto a punto de las distancias "cortas" en algún sentido.
Presumiblemente, este tiene una variedad de beneficios. Por ejemplo, cada espacio metrizable es paracompact, una pequeñez condición de que al parecer se sigue de la falta de $\mathbb{R}$.
Sin embargo, creo que también tiene algunos inconvenientes. Hay muchos, muchos espacios que simplemente no metrizable. Así que yo creo que si podemos generalizar la noción de una métrica $d$ de manera tal que el codominio no tienen que ser de $\mathbb{R},$ esto haría una clase más amplia de espacios metrizable.
De referencia de la solicitud. Tiene la idea de generalizar el codominio de una métrica sido considerado en serio? Si es así, un enlace o referencia se agradece.
Observación. Es cierto que $\mathbb{R}$ es el único Dedekind-completa linealmente ordenado de campo. Así que esto parece poner un nudo en la idea. Sin embargo, creo que el $\mathbb{R}$ tiene mucha más estructura que realmente necesitamos hacer espacio métrico teoría. En particular, cada número real $x$ tiene un inverso aditivo $-x,$, y tan largo como $x$ es distinto de cero tiene un inverso multiplicativo $x^{-1}$. No creo que cualquiera de estas propiedades son realmente necesariamente por el codominio de una métrica.
