Puede una suma de idempotents desaparecer?

Question

Deje $A$ ser finito dimensionales $\mathbb C$-álgebra. Deje $e_1,\ldots,e_r\in A$ ser distinto de cero idempotents (con $r>0$), es decir,$e_i^2=e_i$. Mi pregunta es: ¿es posible que las $e_1+\cdots+e_r=0$? No puedo pensar en un ejemplo único.

Nota: yo no requieren de la $e_i$ a ser central, primitiva, o ortogonales.

Answer 1

Podemos WLOG asumir que el álgebra $A$ está incrustado en $\mathrm{M}_n\left(\mathbb C\right)$ algunos $n\in\mathbb N$ (debido a que el $A$-módulo de $A$ es fiel y finito-dimensional, por lo que el $A$ está incrustado en $\mathrm{End}_{\mathbb C} A \cong \mathrm{M}_n\left(\mathbb C\right)$$n=\dim_{\mathbb C}A$). A continuación, $e_1, e_2, \dots, e_r$ son idempotente matrices, y han idempotente suma (debido a $0$ es idempotente). De acuerdo a MathOverflow pregunta #115067, cualquier lista limitada de idempotente matrices de más de $\mathbb C$ (o cualquier otro campo de la característica $0$), con la idempotente suma debe ser una lista de ortogonal idempotents. Por lo tanto, su idempotents $e_1, e_2, \dots, e_r$ son ortogonales. Por lo tanto, $e_1\left(e_1+e_2+\cdots+e_r\right) = e_1e_1 + e_1e_2 + \cdots + e_1e_r = e_1 + 0 + \cdots + 0 = e_1$. Desde $e_1+e_2+\cdots+e_r=0$, este vuelve a escribir como $e_1\cdot 0 = e_1$, por lo que el $e_1 = 0$. Esto contradice la suposición de que $e_1, e_2, \dots, e_r$ son cero idempotents.

Answer 2

Aquí es una prueba de que no hace uso de la hipótesis de que la $A$ es finito-dimensional. Funciona sobre cualquier campo de la característica $0$. Desde $A$ actúa sobre sí mismo por la izquierda de la multiplicación, es suficiente para responder a esta pregunta para idempotente endomorphisms $e_1, e_2, ... e_r$ de algún espacio vectorial $V$ (no necesariamente finito-dimensional). Deje $V_1, V_2, ... V_r$ ser las imágenes de $e_1, e_2, \dots, e_r$. Si $V_1 \cap V_2$ es distinto de cero, recogida suma directa de descomposición

$$V_1 \cong V_1' \oplus (V_1 \cap V_2)$$ $$V_2 \cong V_2' \oplus (V_1 \cap V_2)$$

de modo que $e_1 = e_1' + e_{1 \cap 2}$ $e_2 = e_2' + e_{1 \cap 2}$ donde $e_i'$ es la proyección en $V_i'$ $e_{1 \cap 2}$ es la proyección en $V_1 \cap V_2$. Ahora$e_1 + e_2 = e_1' + e_2' + 2 e_{1 \cap 2}$, donde todos los tres idempotents que aparecen en esta suma son ortogonales. A continuación, considere las intersecciones $V_1' \cap V_3, V_2' \cap V_3, V_1 \cap V_2 \cap V_3$, y continuar con la descomposición de la idempotents por la elección de suma directa de descomposición de esta manera. Al final vamos a tener por escrito $e_1 + e_2 + \cdots + e_r$ como una suma, con número entero positivo de los coeficientes, de distinto de cero ortogonal idempotents, y sobre un campo de característica cero de una suma es claramente distinto de cero (por ejemplo, debido a que podemos elegir un vector distinto de cero en la imagen de cada idempotente, y su suma no es enviado a cero).

Answer 3

Cero idempotents. Hay varios artículos en la suma de idempotents. Véase, por ejemplo, R. E. Hartwig, M. S. Putcha. Cuando es una matriz de una suma de idempotents? Lineal y Multilineal Álgebra, 26 (1990) 279--286, y para el caso de infinitas dimensiones - C. Pearcy y D. M. Topping. Sumas de números pequeños de idempotents. Michigan Matemáticas. J. 14, (1967), 453--465. Por el camino, finito dimensionales restricción es esencial, ya que cada operador acotado es una suma de 5 idempotents.