Continuidad en un espacio métrico compacto.

Question

Deje $(X,d)$ ser un espacio métrico compacto y deje $f, g: X \rightarrow \mathbb{R}$ ser continuo, de manera que $$f(x) \neq g(x), \forall x\in X.$$ Mostrar que existe una $\epsilon$ tal que $$|f(x) - g(x)| \geq \epsilon, \forall x \in X.$$

Estoy asumiendo que él quiere decir $\epsilon > 0$. Bien, supongamos que al contrario que para todos los $\epsilon > 0$, existe un $x' \in X$ tal que $|f(x') - g(x')| < \epsilon.$ Desde $f(x')$ $g(x')$ son valores fijos, debemos tener $f(x') = g(x')$, una contradicción.

Parece uh... demasiado fácil? Yo ni siquiera tiene que usar la continuidad o la compacidad? Así parece mal? (Estoy muy enfermo, tan terrible en matemáticas esta semana, pero esto es correcto?)

Answer 1

El problema con la prueba de ello es que no se puede arreglar $x'$ y varían $\epsilon$. Esto es debido a que $x'$ está condicionado en su $\epsilon$.

Como para una correcta solución tenga en cuenta que $|f(x) - g(x)|$ es una función continua de$X$$\mathbb{R}$. ¿Qué sabe usted acerca de los mínimos de una función continua de un espacio compacto a $\mathbb{R}$?

Answer 2

Negando tenemos: dado $k > 0$ existe $x_k$ tal que $|f(x_k) - g(x_k)| < \frac{1}{k}.$ Hacer $x = (x_k).$ Desde $M$ es compacto, se tiene que $x$ debe tener un convergentes larga para algunos $y \in M$. A continuación, pasar a la larga debemos tener, mediante la continuidad de la $f,$$g$,$g(y) = f(y)$. Lo que es una contradicción.