Me pregunto si esto es generalmente cierto para cualquier topología. Creo que puede ser el contador de ejemplos, pero estoy teniendo problemas con la generación de ellos.
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Adam Malter
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No. Una forma rápida de verificar contraejemplos es la siguiente observación: si $U$ es el interior de un conjunto cerrado $C$, $U$ es también en el interior de $\overline{U}$. En efecto, desde el $C$ es cerrado y $U\subseteq C$, $\overline{U}\subseteq C$, por lo que el interior de $\overline{U}$ está contenida en el interior de $C$. Pero $U$ está contenida en el interior de $\overline{U}$ (ya que está abierto y que figuran en el $\overline{U}$) y a la igualdad al interior de $C$, lo $U$ debe ser igual a la interior de $\overline{U}$.
Ahora podemos dar un ejemplo: tomemos $U=(0,1)\cup(1,2)$ como un subconjunto de a $\mathbb{R}$. Desde $\overline{U}=[0,2]$ interiores $(0,2)\neq U$, $U$ no puede ser el interior de cualquier conjunto cerrado. En general, un conjunto que es el interior de un conjunto cerrado (lo que es equivalente, de su cierre) se denomina regular de conjunto abierto.
lowglider
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Desde el complemento de un conjunto abierto es cerrado (y viceversa), y puesto que el complemento del interior, es el cierre del complemento, podemos reformular su pregunta de forma equivalente como:
Es todo conjunto cerrado el cierre de algunas conjunto abierto?
Esto sugiere inmediatamente un contraejemplo: cualquier singleton (es decir, un conjunto que contenga sólo un punto) es cerrado en $\mathbb R^n$ (con la habitual topología Euclidiana), pero no tiene no vacía de subconjuntos abiertos que podría ser el cierre de.
Por el contrario, el complemento de cualquier singleton (es decir, $\mathbb R^n \setminus \{x\}$ cualquier $x \in \mathbb R^n$) proporciona un contraejemplo a su reclamación original, siendo un conjunto abierto que no puede ser el interior de cualquier conjunto cerrado.
Dana
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MPW
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