Suma de la disminución del número al azar entre 0 y 1: hace converger??

Question

Vamos a definir una secuencia de números entre 0 y 1. El primer término, $r_1$ será elegido de manera uniforme al azar de $(0, 1)$, pero ahora repetimos este proceso de elección de $r_2$$(0, r_1)$, y así sucesivamente, por lo que $r_3\in(0, r_2)$, $r_4\in(0, r_3)$... El conjunto de todas las posibles secuencias generadas de esta manera contiene la secuencia de los recíprocos de todos los números naturales, suma que se bifurca; pero también contiene todas las progresiones geométricas en el que todos los términos son de menos de 1, y todos ellos tienen convergente sumas. La pregunta es: ¿$\sum_{n=1}^{\infty} r_n$ convergen en general? (Creo que esto se llama casi seguro de convergencia?) Si es así, ¿cuál es la distribución de los límites de todos los convergente la serie de esta familia?

Muchas gracias de antemano!!

Answer 1

Deje $(u_i)$ ser una secuencia de yo.yo.d. uniforme(0,1) variables aleatorias. A continuación, la suma que usted está interesado en se puede expresar como $$S_n=u_1+u_1u_2+u_1u_2u_3+\cdots +u_1u_2u_3\cdots u_n.$$ La secuencia de $(S_n)$ es no decreciente y, ciertamente, converge, posiblemente a $+\infty$.

Por otro lado, teniendo expectativas de da $$E(S_n)={1\over 2}+{1\over 2^2}+{1\over 2^3}+\cdots +{1\over 2^n},$$ por lo $\lim_n E(S_n)=1.$ Ahora por Fatou del lema, $$E(S_\infty)\leq \liminf_n E(S_n)=1,$$ de modo que $S_\infty$ ha finito expectativa y así es finito, casi con toda seguridad.

Answer 2

La probabilidad de $f(x)$ que el resultado es $\in(x,x+dx)$ está dado por $$f(x) = \exp(-\gamma)\rho(x)$$ where $\rho$ is the Dickman function as @Hurkyl pointed out below. This follows from the the delay differential equation for $f$, $$f^\prime(x) = -\frac{f(x-1)}{x}$$ with the conditions $$f(x) = f(1) \;\rm{for}\; 0\le x \le1 \;\rm{and}$$ $$\int\limits_0^\infty f(x) = 1.$$ la Derivación de la siguiente manera

De las otras respuestas, parece que la probabilidad es plana para los resultados de menos de 1. Vamos a demostrar este principio.

Definir $P(x,y)$ a la probabilidad de que el resultado final se encuentra en $(x,x+dx)$ si el primer número aleatorio es elegido en el rango de $[0,y]$. Lo que queremos encontrar es $f(x) = P(x,1)$.

Tenga en cuenta que si el rango aleatorio es cambiado a $[0,ay]$ la distribución de probabilidad se extiende horizontalmente por $a$ (lo que significa que se tiene que comprimir verticalmente por $a$). Por lo tanto $$P(x,y) = aP(ax,ay).$$

Vamos a usar esto para encontrar los $f(x)$$x<1$.

Tenga en cuenta que si el primer número elegido es mayor que x nunca se puede obtener una suma menor o igual a x. Por lo tanto $f(x)$ es igual a la probabilidad de que el primer número elegido es menor o igual a $x$ multiplicado por la probabilidad de que el azar rango de $[0,x]$. Es decir, $$f(x) = P(x,1) = p(r_1<x)P(x,x)$$

Pero $p(r_1<x)$ es sólo $x$ $P(x,x) = \frac{1}{x}P(1,1)$ como se encuentra. Por lo tanto $$f(x) = f(1).$$

La probabilidad de que el resultado es $x$ es constante para $x<1$.

Con esto, podemos ahora de forma iterativa construir las probabilidades de las $x>1$ en términos de $f(1)$.

En primer lugar, tenga en cuenta que cuando se $x>1$ tenemos $$f(x) = P(x,1) = \int\limits_0^1 P(x-z,z) dz$$ Aplicamos la compresión de nuevo para obtener el $$f(x) = \int\limits_0^1 \frac{1}{z} f(\frac{x}{z}-1) dz$$ Establecimiento $\frac{x}{z}-1=t$, obtenemos $$f(x) = \int\limits_{x-1}^\infty \frac{f(t)}{t+1} dt$$ Esto nos da la siguiente ecuación diferencial: $$\frac{df(x)}{dx} = -\frac{f(x-1)}{x}$$ Ya sabemos que $f(x)$ es una constante para $x<1$, esto es suficiente para resolver la ecuación diferencial numéricamente para $x>1$, módulo del constante (que puede ser recuperada por la integración en la final). Lamentablemente, la solución es esencialmente trozos de $n$ $n+1$y es imposible encontrar una sola función que funciona en todas partes.

Por ejemplo, cuando $x\in[1,2]$, $$f(x) = f(1) \left[1-\log(x)\right]$$

Pero la expresión se pone muy feo, incluso para $x \in[2,3]$, requiriendo el logarítmica de la función integral de $\rm{Li}$.

Finalmente, como una comprobación de validez, vamos a comparar el azar los resultados de la simulación con $f(x)$ encontrados mediante integración numérica. Las probabilidades se han normalizado, de modo que $f(0) = 1$.

El partido es casi perfecta. En particular, tenga en cuenta cómo la fórmula analítica coincide con la numérica exactamente en el rango de $[1,2]$.

A pesar de que no tiene una expresión analítica para $f(x)$, la ecuación diferencial puede ser utilizado para mostrar que la expectativa de valor de $x$ es 1.

Por último, tenga en cuenta que el retardo diferencial de la ecuación anterior es la misma que la de la Dickman función de $\rho(x)$ y, por tanto,$f(x) = c \rho(x)$. Sus propiedades han sido estudiadas. Por ejemplo, la transformada de Laplace de la Dickman función está dada por $$\mathcal L \rho(s) = \exp\left[\gamma-\rm{Ein}(s)\right].$$ Esto le da $$\int_0^\infty \rho(x) dx = \exp(\gamma).$$ Since we want $\int_0^\infty f(x) dx = 1,$ we obtain $$f(1) = \exp(-\gamma) \rho(1) = \exp(-\gamma) \approx 0.56145\ldots$$ That is, $$f(x) = \exp(-\gamma) \rho(x).$$ Esto completa la descripción de $f$.

Answer 3

Sólo para confirmar la simulación por @curious_cat, aquí está la mía:

Es un histograma, pero me dibujó un gráfico de línea debido a que los tamaños de bin eran bastante pequeños ($0.05$ en longitud, con 10 millones de pruebas de 5 iteraciones).

Nota: el eje vertical es la frecuencia, el eje horizontal es de suma después de 5 iteraciones. Me encontré con una media de aproximadamente $0.95$.

Answer 4

Me corrió una simulación rápida y me sale una media de suma de (desviación estándar de 0.7)

Advertencia: No estoy seguro de que codificaba todo bien! Sobre todo porque yo no la prueba de la convergencia.