Pruebe las definiciones de $e$ para ser equivalente

Question

Cómo probar que las siguientes definiciones de $e^x$ son equivalentes, con herramientas tan simples como sea posible y sin ningún conocimiento de $e$ o logaritmos?

$$ \sum_ {n=0}^{ \infty } \frac {x^n}{n!}= \lim_ {n \to\infty } \left (1+ \frac {x}{n} \right )^n$$

También preferiblemente, probar que esto es $a^x$ para algún número real $a>0$ .

Answer 1

En mi respuesta a la prueba combinatoria muestro eso por $ \displaystyle e= \lim_ {n \to\infty } \left (1+ \frac {1}{n} \right )^n$ , $ \displaystyle e^x= \sum_ {k=0}^ \infty\frac {x^k}{k!}$ .

Para mostrar que $ \displaystyle \lim_ {n \to\infty } \left (1+ \frac {x}{n} \right )^n= \lim_ {n \to\infty } \left (1+ \frac {1}{n} \right )^{nx}$ podríamos simplemente observar que $$ \left (1+ \frac {x}{n} \right )^n= \left (1+ \frac {1}{n/x} \right )^{(n/x)x} \tag {1} $$ y tomar el límite como $n \to\infty $ . Sin embargo, uno podría quejarse de que $n/x$ no es un número entero. Para calmar cualquier queja de este tipo, considere el sándwich $$ \left (1+ \frac {1}{ \lfloor n/x \rfloor +1} \right )^{( \lfloor n/x \rfloor +1)x-x} \le\left (1+ \frac {1}{n/x} \right )^{(n/x)x} \le\left (1+ \frac {1}{ \lfloor n/x \rfloor } \right )^{ \lfloor n/x \rfloor x+x} \tag {2} $$ Es fácil ver que ambos $ \lfloor n/x \rfloor $ y $ \lfloor n/x \rfloor +1$ son enteros y que $$ \lim_ {n \to\infty } \left (1+ \frac {1}{ \lfloor n/x \rfloor +1} \right )^{-x}= \lim_ {n \to\infty } \left (1+ \frac {1}{ \lfloor n/x \rfloor } \right )^x=1 $$ Así, tanto el lado izquierdo como el derecho de $(2)$ tienden a $e^x$ . Por lo tanto, nosotros puede use $(1)$ y tomar el límite como $n \to\infty $ .

Answer 2

Este es un disipador de corriente de voltaje controlado que tiene un LED como su carga pero cualquier cosa como una carga serviría: -

Como digo, ignora el LED y asume que es sólo una resistencia a un voltaje de suministro positivo abitual que no tiene por qué ser el mismo que el del amplificador.

Funciona asegurando que el voltaje a través de la resistencia del emisor es el mismo que el voltaje en el divisor de potencial en el +Vin del op-amp - el op-amp controla el BJT para asegurarse de que 1V está a través de la resistencia de 10 ohmios por lo tanto 100mA siempre fluirá a través del LED/Carga en el colector.

Si quieres una corriente más pequeña, haz que el divisor de potencial produzca un voltaje más pequeño en el +Vin del op-amp o aumenta la resistencia del emisor 10R. Aquí hay un circuito similar que controla una fuente de corriente referida al riel de +V: -

Este circuito utiliza FETs en lugar de un BJT sólo para demostrar las posibilidades. El op-amp y el FET a la izquierda controlan la corriente a través de una resistencia de 1k a +Vs. Hay una tapa a través de ella para estabilizar el voltaje a través del 1k para evitar que la capacitancia de fuga del FET lo haga ruidoso.

El voltaje a través de este 1k es, por lo tanto, idéntico al de Vin (use los op-amps de bajo Vos y estará dentro de los cien uV. La 2ª parte del circuito toma el voltaje de referencia de +Vs y crea una fuente de corriente constante para la carga. En este circuito la corriente a través de la carga es Vin/100.

Hacer una resistencia de voltaje controlado es mucho más difícil de lograr la linealidad, pero si es así, buena suerte.

Answer 3

No estoy en desacuerdo con las otras respuestas pero siempre encontré que este tipo de límites y propiedades interesantes venían mucho más naturalmente por lo que pensé que la definición de $e$ realmente era: que $e^x$ es su propio derivado.

Desde ese punto de partida, dejemos $y=e^x$ así que $dy/dx = e^x$ . Ahora, $x = \ln (y)$ . Y $dx/dy = 1/e^x = 1/y$ . Así que el derivado de $ \ln (x)$ es $1/x$ .

Por los primeros principios, tienes:

\begin {ecuación} \frac {d \ln (x)}{dx}= \lim_ {h->0} \frac { \ln (x+h)- \ln (x)}{h}= \lim_ {h->0} \frac { \ln ((x+h)/x)}{h}= \lim_ {h->0} \ln ((1+h/x)^{1/h})=1/x \end {ecuación}

Así que el intercambio $x$ con $1/x$ y $h$ con $1/n$ :

\begin {ecuación} x = \lim_ {n-> \infty } \ln ((1+x/n)^n) \end {ecuación}

Exponiendo:

\begin {ecuación} e^x = \lim_ {n-> \infty }(1+x/n)^n \end {ecuación}

Obviamente dejaste que $x=1$ para conseguir un límite para $e$ . Para el otro lado, es sólo la serie de Taylor. La serie es superdiferente y su derivado es el mismo. De hecho, todos los $e^x$ Los derivados de la empresa son $1$ cuando $x=0$ .

Si lo piensas, sólo puede haber una función que es su propia derivada y que pasa por (0, 1). Técnicamente, es una ecuación diferencial de primer orden con una condición inicial. Puedes aproximarla fácilmente con una precisión arbitraria programando o usando una hoja de cálculo: https://docs.google.com/spreadsheet/ccc?key=0Am_ePpIZW9YMdFI3dFlHOFoxWnpXOTVvWnh5X3FOeGc&hl=en_US

También podrías mostrar que el límite de la derecha es su propio derivado también.

Método alternativo utilizando los primeros principios con $e^x$ :

\begin {ecuación} \frac {de^x}{dx}= \lim_ {h->0} \frac {e^{x+h}-e^x}{h}=e^x \lim_ {h->0} \frac 1. \end {ecuación}

Así que..:

\begin {ecuación} \lim_ {h->0} \frac {e^h-1}{h}=1 \end {ecuación}

Reordenando para hacer $e$ el sujeto:

\begin {ecuación} e= \lim_ {h->0}(h+1)^{1/h}= \lim_ {n-> \infty }(1+ \frac {1}{n})^n \end {ecuación}