Topología Cociente

Question

Permite a $X$ es un espacio topológico y $Y$ es un subconjunto de a $X$. Cómo podemos definir la topología del espacio cociente $$X/Y=\{x\in X~|~x\sim y\Leftrightarrow x, y\in Y\}.$$

Gracias.

Answer 1

Para un conjunto $X$ y una relación de equivalencia $R$, el cociente set $X/R$ es el conjunto de clases de equivalencia $[x]$$R$. El cociente conjunto viene con un cociente mapa de $\pi:X\rightarrow X/R$, de forma natural se define mediante el envío de $x$ a su clase de equivalencia $[x]$. El "cociente de la topología" en la $X/R$ se define diciendo "$U\subset X/R$ es abrir el fib $\pi^{-1}(U)$ está abierto en $X$." (el cociente de la topología en sí es un caso especial de dos cosas: 1) la escasa topología inducida por una famaily de mapas también/de tu conjunto, y 2) un pushout diagrama. Usted debe comprobar estas cosas, que estamos bien.)

Su ejemplo, quotienting por un subconjunto, es un caso especial de un cociente conjunto. Para hacer de su relación una relación de equivalencia, sólo tiene que añadir la diagonal $\Delta_X= \{ (x,x)\in X\times X\ |\ x\in X\}$. Un elemento $[x]\in$"$X/Y$" es un singleton $[x]=\{x\}$ (donde$x\not\in Y$) o $[x]=Y$. Por lo tanto el cociente mapa es un bijection en $X-Y$.

Si $U\subset X/Y$, $U$ es abrir el fib $\pi^{-1}(U)=\{x\in X\ |\ [x]\in U\}$ está abierto en $X$. Podemos escribir cualquier $U$$(U-\{Y\})\ \dot{\cup}\ (\{Y\}\cap U)$, por lo que en general $U$ es abrir el fib $\pi^{-1}(U)=\pi^{-1}(U-\{Y\})\ \dot{\cup}\ \pi^{-1}(\{Y\}\cap U)$ es abierto en X. por Lo tanto para $U\subset X/Y$: si $Y\not\in U$ $\pi^{-1}(U)$ es disjunta de a $Y\subset X$ por lo que el cociente mapa es un bijection; si $Y\in U$, entonces debemos comprobar que $\{x\in X-Y\ |\ [x]\in U\}\cup Y$ es abierto en X.

Así que si quieres pensar de $X/Y$"$X$, con la excepción de $Y$ ha colapsado" usted puede pensar "$U$ es abrir el fib $U$ está abierto en $X$ y no se cruzan $Y$ o $U\cup Y$ está abierto en $X$."

Answer 2

Al igual que en el caso de los grupos, como un conjunto cociente $X/Y$ es el conjunto donde $Y$ se ha colapsado en un punto. Para definir una relación de equivalencia en $X$ $x_1 \sim x_2$ fib $ x_1$ $x_2$ pertenecen a $Y$. Así que ahora todos los puntos de $Y$ se identifican el uno con el otro, y todos los puntos de disjunta de a $Y$ sólo contienen a sí mismos en sus correspondientes clases. A continuación,$X/Y:= X/\sim$.

Ahora, tenemos una obvia surjective mapa de $q: X \to X/\sim$ que envía cada punto de $X$ a su clase correspondiente. Queremos dar a $X/\sim$ una topología de modo que $q$ es continua. La opción obvia es la topología final: que es, la mejor topología tal que $q$ es todavía continua.

La razón para tomar esta decisión es porque entonces el cociente satisface el universal propiedad de que cualquier función continua $g: X \to Z$, lo que hace que el mismo identificaciones como $q$ pasa a un único mapa continuo $\tilde{g} : X/\sim \to Z$ tal que $\tilde{g} \circ q = g$.