¿Cuáles son los elementos reducidos de $\mathbb Q(\sqrt{30})$ ?
A partir de la definición aquí(en la página $32$);
Un elemento $\beta\in\mathbb Q(\sqrt{d})$ dijo ser reducido, si $\beta>1$ $-1<\beta'<0$ $\beta'$ es la imagen de $\beta$ bajo el no trivial automorphism que envía a $\sqrt{d}$ $-\sqrt{d}$
Si $\beta$ es de la forma$a+b\sqrt{30}$, $0>\beta'=a-b\sqrt{30}>-1$
esto se ve demasiado complicado para determinar todos los elementos reducidos
Así que si $\beta$ es reducido, entonces claramente es irracional, y tenemos un teorema que establece que: Para $\beta\in\mathbb Q(\sqrt{d})\setminus\mathbb Q$, hay sólo un número finito de elementos reducidos para cualquier $D\in\mathbb N_{>0}$ donde $D$ es el discriminante $(B^2-4AC)$ de la mínima polinomio $(AT^2+BT+C=0$$ \gcd(A,B,C)=1)$$\beta$. Es esto útil ?
Por ejemplo, si definimos $\beta_0=\sqrt{30}+\lfloor\sqrt{30}\rfloor,\quad\beta_{n+1}=\frac{1}{\beta_n-\lfloor\beta_n\rfloor}$ $(\beta_n)_n$ es un periódico de la secuencia de reducción de elementos de $\mathbb Q(\sqrt{30})$, pero estos no son todos.
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Respuestas
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Si entiendo la definición correctamente, todo lo que necesitas hacer es resolver el sistema de desigualdades $$a+b\sqrt{30}>1\text{ and } 0>a-b\sqrt{30}>-1$$ de números racionales. Usted no puede, por supuesto esperar a la lista de soluciones -hay infinitamente muchos. No es difícil describir el conjunto, sin embargo:
La primera desigualdad es un medio plano; a ver que aviso de que puede volver a escribir es como $(a,b)\cdot (1,\sqrt{30})>1$, lo que significa la proyección de $(a,b)$ $(1,\sqrt{30})$ es de más de $\frac{1}{\sqrt{31}}$. Este es un semiplano, con límite ortogonal al vector $(1,\sqrt{30})$ corte en $(\frac{1}{\sqrt{31}},\sqrt{\frac{30}{31}})$.
La segunda desigualdad es igualmente un infinito tira vertical para el vector $(1,-\sqrt{30})$. La imagen se verá como esto:
Ahora, para dar un quizás la respuesta más precisa definitivamente, usted puede parametrizar este dominio. Observe que las líneas de $a-b\sqrt{30}=-1$ $a+b\sqrt{30}=1$ se intersectan en el punto $(0,\frac{1}{\sqrt{30}})$ y los otros dos se cruzan en $(\frac{1}{2},\frac{1}{2\sqrt{30}}$).
El dominio es entonces parametrizadas como la unión de los conjuntos de $A$ $B$ donde $$A=\big\{(a,b):a\in[0,1/2]\text{ and }b\in[\frac{1-a}{\sqrt{30}},\frac{1+a}{\sqrt{30}}]\big\}\text{ and }$$ $$B=\big\{(a,b):a\in[1/2,\infty)\text{ and }b\in[\frac{a}{\sqrt{30}},\frac{a+1}{\sqrt{30}}]\big\}$$
Por supuesto, desea que los puntos racionales de las coordenadas que hay...
Para cualquier $D>0$ hay sólo un número finito de elementos reducidos $\beta$ cuyo mínimo polinomio tiene discriminante $D$
La prueba se basa en el hecho de que hay sólo un número finito de posibles valores para los coeficientes $A,B$ en el mínimo polinomio $A x^2+B x+C$ $\beta$
Aplicar este resultado a $\mathbb{Q}\left(\sqrt{30}\right)$
Ahora $D=30m^2$ algunos $m\in \mathbb{Z}$.
Elija $A,B$ y calcular el $\beta =\frac{-B+\sqrt{D}}{2A}$
