¿En qué condiciones puede el intercambio de la orden de límites de una función de dos variables?

Question

Supongamos que tengo $f:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$. Qué condiciones puedo decir que

$$\lim_{x \to a} \lim_{y \to b} f(x,y) = \lim_{y \to b} \lim_{x \to a} f(x,y)$$

?

Lo que en un caso más general, mediante la adopción de $X,Y$ $Z$ topológico (Hausdorff) espacios y$f$$X \times Y$$Z$?

Gracias

Answer 1

Teorema. Deje $\{ F_t ; t\in T\}$ ser una familia de funciones de $F_t : X \rightarrow \mathbb{C}$ dependiendo de un parámetro t; deje $\mathcal{B}_X$ base $X$ $\mathcal{B}_{T}$ base $T$. Si la familia converge uniformemente en $X$ sobre la base de la $\mathcal{B}_{T}$ a una función $F : X \rightarrow \mathbb{C}$ y el límite de $\lim_{\mathcal{B}_{T}} F_t(x)=A_t$ existe para cada una de las $t\in T$, la repiten los límites de $\lim_{\mathcal{B}_{X}}(\lim_{\mathcal{B}_{T}}F_t(x))$ $\lim_{\mathcal{B}_{T}}(\lim_{\mathcal{B}_{X}}F_t(x))$ existen y la igualdad

$$ \lim_{\mathcal{B}_{X}}(\lim_{\mathcal{B}_{T}}F_t(x))=\lim_{\mathcal{B}_{T}}(\lim_{\mathcal{B}_{X}}F_t(x)) $$ sostiene.

Este teorema se puede encontrar en los libros de Zorich (Análisis Matemático II p. 381).