Número esperado de lanzamientos de un par de dados para generar todas las sumas posibles

Question

Un par de dados se lanza repetidamente hasta que cada resultado (del 2 al 12) se ha producido al menos una vez. ¿Cuál es el número esperado de tiradas necesarias para que esto ocurra?

Notas: Esto no es muy profundo conceptualmente, pero debido a las probabilidades desiguales para los resultados, parece que los cálculos involucrados son terriblemente desordenados. Se debe haber hecho ya (¡los dados se han estudiado durante siglos!) pero no puedo encontrar una discusión en ningún libro, o en línea. ¿Alguien puede dar una referencia?

Answer 1

Este es el problema de los cobradores de cupones con probabilidades desiguales. Hay un tratamiento de este problema en Ejemplo 5.17 de la 10ª edición de Introducción a los modelos de probabilidad de Sheldon Ross (página 322). Resuelve el problema incrustándolo en un proceso de Poisson. De todos modos, la respuesta es

$$ E[T]=\int_0^\infty \left(1-\prod_{j=1}^m (1-e^{-p_j t})\right) dt, $$

cuando hay $m$ eventos con probabilidad $p_j, j=1, \dots, m$ de ocurrir.

En su problema particular con dos dados justos, mis cálculos dan

$$E[T] = {769767316159\over 12574325400} = 61.2173.$$

Answer 2

Supongamos que las probabilidades son $p_i$ . Para cada conjunto $S$ la probabilidad de que en la primera $n$ términos sólo hemos visto lanzamientos de $S$ es $$ p_S^n, \quad p_S \triangleq \sum_{i \in S} p_i. $$ La probabilidad de que tengamos no visto todos los resultados por el $n$ El lanzamiento es $$ r_n = \sum_{S \neq \emptyset} (-1)^{|S|+1} p_{\overline{S}}^n. $$ La expectativa requerida es $$ E = \sum_{n \geq 1} r_n. $$ Cambiando el orden de la suma, el sumando correspondiente a $S$ contribuye a la suma $$ (-1)^{|S|+1} \sum_{n \geq 1} p_{\overline{S}}^n = \frac{(-1)^{|S|+1} p_{\overline{S}}}{p_S}. $$ Así obtenemos la fórmula $$ E = \sum_{S \neq \emptyset} (-1)^{|S|+1} \left(\frac{1}{p_S} - 1 \right) = \sum_{S \neq \emptyset} \frac{(-1)^{|S|+1}}{p_S} - 1. $$ Ahora, en principio, puedes introducir los valores de los dados y obtener el resultado. Como hay $11$ resultados, hay que sumar $2^{11} = 2048$ recíprocos (incluyendo el final $-1$ ).